初中数学相似三角形的判定与性质试题

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$，点 $O$在对角线 $\mathit{AC}$上，圆 $O$的半径为2，如果圆 $O$与矩形 $\mathit{ABCD}$的各边都没有公共点，那么线段 $\mathit{AO}$长的取值范围是　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，点 $E$、 $F$分别从点 $A$、点 $D$以相同速度同时出发，点 $E$从点 $A$向点 $D$运动，点 $F$从点 $D$向点 $C$运动，点 $E$运动到 $D$点时， $E$、 $F$停止运动．连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AF}$相交于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$．有下列结论：① $\mathit{AF}\perp \mathit{BE}$；②点 $G$随着点 $E$、 $F$的运动而运动，且点 $G$的运动路径的长度为 $\pi$；③线段 $\mathit{DG}$的最小值为 $2\sqrt{5}-2$；④当线段 $\mathit{DG}$最小时， $\mathit{\Delta BCG}$的面积 $S=8+\frac{8}{5}\sqrt{5}$．其中正确的命题有　　．（填序号）

如图，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{BC}$ 边向右平移得到 $\mathit{\Delta DEF}$ ， $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ．若 $\mathit{BC}:\mathit{EC}=3:1$ ． $S_{\mathit{\Delta ADG}}=16$ ．则 $S_{\mathit{\Delta CEG}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

2

B．

4

C．

6

D．

8

如图， $D$是等边 $\mathit{\Delta ABC}$边 $\mathit{AB}$上的点， $\mathit{AD}=2$， $\mathit{DB}=4$．现将 $\mathit{\Delta ABC}$折叠，使得点 $C$与点 $D$重合，折痕为 $\mathit{EF}$，且点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AC}$和 $\mathit{BC}$上，则 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{CE}}=$　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=90°$，点 $D$为 $\mathit{AC}$上一点，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$，且 $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{ACB}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{DE}$，若 $\angle A=30°$，求 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{DE}}$．

如图，在中，直径垂直于不过圆心的弦，垂足为点，连接，点在上，且

（1）求证：；

（2）过点作的切线交的延长线于点，试判断与是否相等，并说明理由；

（3）设半径为4，点为中点，点在上，求线段的最小值．

古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图， $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BCA}＝90°$， $\mathit{AC}＝3$， $\mathit{BC}＝4$，点O在线段 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{OC}=\frac{3}{2}$，以O为圆心． $\mathit{OC}$为半径的 $\odot O$交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）研究过短中，小明同学发现 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AE}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}$，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．

如图1，平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=10$，点 $P$在边 $\mathit{AD}$上运动，以 $P$为圆心， $\mathit{PA}$为半径的 $\odot P$与对角线 $\mathit{AC}$交于 $A$， $E$两点．

（1）如图2，当 $\odot P$与边 $\mathit{CD}$相切于点 $F$时，求 $\mathit{AP}$的长；

（2）不难发现，当 $\odot P$与边 $\mathit{CD}$相切时， $\odot P$与平行四边形 $\mathit{ABCD}$的边有三个公共点，随着 $\mathit{AP}$的变化， $\odot P$与平行四边形 $\mathit{ABCD}$的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的 $\mathit{AP}$的值的取值范围　　．

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $\mathit{ABCD}$ 如图所示．过点 $D$ 作 $\mathit{DF}$ 的垂线交小正方形对角线 $\mathit{EF}$ 的延长线于点 $G$ ，连结 $\mathit{CG}$ ，延长 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{CG}$ 于点 $H$ ．若 $\mathit{AE}=2\mathit{BE}$ ，则 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{BH}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{2}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\frac{3\sqrt{10}}{7}$

D．

$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ， $\mathit{OE}\perp \mathit{AC}$ 于点 $E$ ，若 $\mathit{OE}=3$ ， $\mathit{OB}=5$ ，则 $\mathit{CD}$ 的长度是 $($ 　　 $)$

A．

9.6

B．

$4\sqrt{5}$

C．

$5\sqrt{3}$

D．

10

如图所示，已知在梯形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\frac{S_{\mathit{\Delta ABD}}}{S_{\mathit{\Delta BCD}}}=\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta BOC}}}{S_{\mathit{\Delta BCD}}}=$ 　　．

如图， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OD}$ ， $\angle \mathit{ABO}=\angle \mathit{DCO}$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 延长线上一点，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$ ，交 $\mathit{BD}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证 $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta DOC}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以其三边为边向外作正方形，过点 $C$作 $\mathit{CR}\perp \mathit{FG}$于点 $R$，再过点 $C$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{CR}$分别交边 $\mathit{DE}$， $\mathit{BH}$于点 $P$， $Q$．若 $\mathit{QH}=2\mathit{PE}$， $\mathit{PQ}=15$，则 $\mathit{CR}$的长为 $($　　 $)$

A．14B．15C． $8\sqrt{3}$D． $6\sqrt{5}$

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，求 $\angle A$的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $\mathit{DEBF}$，使顶点 $E$， $F$分别落在边 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$上的点 $A$， $C$处，折痕分别为 $\mathit{DG}$， $\mathit{DH}$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，若 $\mathit{CB}=\mathit{CD}=4$，则当 $\mathit{AD}$的长为何值时， $\mathit{AB}$的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $\mathit{AC}$的长．