初中数学相似三角形的判定与性质试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CA}=6$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$是 $\angle \mathit{ABC}$的平分线， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）试证明 $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{AC}=6\sqrt{10}$ ，求此时 $\mathit{DE}$ 的长．

若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知 $\mathit{\Delta ABC}$是比例三角形， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$，请直接写出所有满足条件的 $\mathit{AC}$的长；

（2）如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$，对角线 $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{ADC}$．求证： $\mathit{\Delta ABC}$是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当 $\angle \mathit{ADC}=90°$时，求 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{AC}}$的值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，延长 $\mathit{CA}$ 到点 $D$ ，以 $\mathit{AD}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{BA}$ 的延长线于点 $E$ ，延长 $\mathit{BC}$ 到点 $F$ ，使 $\mathit{BF}=\mathit{EF}$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{OC}=9$ ， $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{AE}=8$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$为 $\mathit{BC}$边上的中线， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\backsim \mathit{\Delta CAD}$．

（2）若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=10$，求线段 $\mathit{DE}$的长．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OC}$ ， $\mathit{OB}=\mathit{OD}+\mathit{CD}$ ．

（1）过点 $A$ 作 $\mathit{AE}//\mathit{DC}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ，求证： $\mathit{AE}=\mathit{BE}$ ；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta ABD}$ 沿 $\mathit{AB}$ 翻折得到 $\mathit{\Delta AB}{D}^{\text{'}}$ ．

①求证： $B{D}^{\text{'}}//\mathit{CD}$ ；

②若 $A{D}^{\text{'}}//\mathit{BC}$ ，求证： $C{D}^2=2\mathit{OD}·\mathit{BD}$ ．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\mathit{DE}$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$相交于点 $D$， $E$，若 $\mathit{AD}=4$， $\mathit{DB}=2$，则 $\mathit{DE}:\mathit{BC}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{2}{3}$B． $\frac{1}{2}$C． $\frac{3}{4}$D． $\frac{3}{5}$

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{DC}$ 边的中点，连接 $\mathit{AE}$ ，若 $\mathit{AE}$ 的延长线和 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}=\mathit{CF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AC}$ 和 $\mathit{BE}$ 相交于点为 $G$ ，若 $\mathit{\Delta GEC}$ 的面积为2，求平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $\mathit{ABCD}$ 如图所示．过点 $D$ 作 $\mathit{DF}$ 的垂线交小正方形对角线 $\mathit{EF}$ 的延长线于点 $G$ ，连结 $\mathit{CG}$ ，延长 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{CG}$ 于点 $H$ ．若 $\mathit{AE}=2\mathit{BE}$ ，则 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{BH}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{2}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\frac{3\sqrt{10}}{7}$

D．

$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ， $\mathit{OE}\perp \mathit{AC}$ 于点 $E$ ，若 $\mathit{OE}=3$ ， $\mathit{OB}=5$ ，则 $\mathit{CD}$ 的长度是 $($ 　　 $)$

A．

9.6

B．

$4\sqrt{5}$

C．

$5\sqrt{3}$

D．

10

如图所示，已知在梯形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\frac{S_{\mathit{\Delta ABD}}}{S_{\mathit{\Delta BCD}}}=\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta BOC}}}{S_{\mathit{\Delta BCD}}}=$ 　　．

如图， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OD}$ ， $\angle \mathit{ABO}=\angle \mathit{DCO}$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 延长线上一点，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$ ，交 $\mathit{BD}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证 $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta DOC}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以其三边为边向外作正方形，过点 $C$作 $\mathit{CR}\perp \mathit{FG}$于点 $R$，再过点 $C$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{CR}$分别交边 $\mathit{DE}$， $\mathit{BH}$于点 $P$， $Q$．若 $\mathit{QH}=2\mathit{PE}$， $\mathit{PQ}=15$，则 $\mathit{CR}$的长为 $($　　 $)$

A．14B．15C． $8\sqrt{3}$D． $6\sqrt{5}$