初中数学相似三角形的判定与性质试题

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=-x+m$分别交 $x$轴， $y$轴于 $A$， $B$两点，已知点 $C(2,0)$．

（1）当直线 $\mathit{AB}$经过点 $C$时，点 $O$到直线 $\mathit{AB}$的距离是　　；

（2）设点 $P$为线段 $\mathit{OB}$的中点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PC}$，若 $\angle \mathit{CPA}=\angle \mathit{ABO}$，则 $m$的值是　　．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$．

（1）如图1， $E$， $G$分别是 $\mathit{OB}$， $\mathit{OC}$上的点， $\mathit{CE}$与 $\mathit{DG}$的延长线相交于点 $F$．若 $\mathit{DF}\perp \mathit{CE}$，求证： $\mathit{OE}=\mathit{OG}$；

（2）如图2， $H$是 $\mathit{BC}$上的点，过点 $H$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{BC}$，交线段 $\mathit{OB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DH}$交 $\mathit{CE}$于点 $F$，交 $\mathit{OC}$于点 $G$．若 $\mathit{OE}=\mathit{OG}$，

①求证： $\angle \mathit{ODG}=\angle \mathit{OCE}$；

②当 $\mathit{AB}=1$时，求 $\mathit{HC}$的长．

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $D$， $E$分别在边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$上， $\mathit{AG}\perp \mathit{BC}$于点 $G$， $\mathit{AF}\perp \mathit{DE}$于点 $F$， $\angle \mathit{EAF}=\angle \mathit{GAC}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\backsim \mathit{\Delta ABC}$；

（2）若 $\mathit{AD}=3$， $\mathit{AB}=5$，求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AG}}$的值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=15$， $\mathit{AC}=20$，点 $D$在边 $\mathit{AC}$上， $\mathit{AD}=5$， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$，则 $\mathit{\Delta ABE}$的面积等于　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$， $E$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$，若 $\mathit{BD}=2\mathit{AD}$，则 $($　　 $)$

A． $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{2}$B． $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}=\frac{1}{2}$C． $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{EC}}=\frac{1}{2}$D． $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$

如图，一张三角形纸片 $\mathit{ABC}$，其中 $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=3$．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点 $A$落在 $C$处；将纸片展平做第二次折叠，使点 $B$落在 $C$处；再将纸片展平做第三次折叠，使点 $A$落在 $B$处．这三次折叠的折痕长依次记为 $a$， $b$， $c$，则 $a$， $b$， $c$的大小关系是 $($　　 $)$

A． $c>a>b$B． $b>a>c$C． $c>b>a$D． $b>c>a$

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，求 $\angle A$的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $\mathit{DEBF}$，使顶点 $E$， $F$分别落在边 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$上的点 $A$， $C$处，折痕分别为 $\mathit{DG}$， $\mathit{DH}$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，若 $\mathit{CB}=\mathit{CD}=4$，则当 $\mathit{AD}$的长为何值时， $\mathit{AB}$的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $\mathit{AC}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $P$，直线 $\mathit{BF}$与 $\mathit{AD}$的延长线交于点 $F$，且 $\angle \mathit{AFB}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证：直线 $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{CD}=2\sqrt{3}$， $\mathit{OP}=1$，求线段 $\mathit{BF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=25$， $\mathit{AB}=30$， $D$是 $\mathit{AB}$上的一点（不与 $A$、 $B$重合）， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$，垂足是点 $E$，设 $\mathit{BD}=x$，四边形 $\mathit{ACED}$的周长为 $y$，则下列图象能大致反映 $y$与 $x$之间的函数关系的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{CD}$为角平分线， $\angle A=40°$， $\angle B=60°$，求证： $\mathit{CD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线．

（2）在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=48°$， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线，且 $\mathit{\Delta ACD}$为等腰三角形，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数．

（3）如图2， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=2$， $\mathit{BC}=\sqrt{2}$， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线，且 $\mathit{\Delta ACD}$是以 $\mathit{CD}$为底边的等腰三角形，求完美分割线 $\mathit{CD}$的长．

如图，已知 $\odot O$是等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的外接圆，点 $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上一点， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，若 $\mathit{BC}=4$， $\mathit{AD}=\frac{4}{5}$，则 $\mathit{AE}$的长是 $($　　 $)$

A．3B．2C．1D．1.2

如图，已知 $\odot O$是等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的外接圆，点 $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上一点， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，若 $\mathit{BC}=4$， $\mathit{AD}=\frac{4}{5}$，则 $\mathit{AE}$的长是 $($　　 $)$

A．3B．2C．1D．1.2

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{DH}$垂直平分 $\mathit{AC}$，点 $H$为垂足．设 $\mathit{AB}=x$， $\mathit{AD}=y$，则 $y$关于 $x$的函数关系用图象大致可以表示为 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究：

如图1，在等邻角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的中垂线恰好交于 $\mathit{AB}$边上一点 $P$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$，试探究 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展：

如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$与 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$中， $\angle C=\angle D=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{BD}=3$， $\mathit{AB}=5$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$绕着点 $A$顺时针旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{BAC})$得到 $\mathit{Rt}$△ $\mathit{AB}\text{'}D\text{'}$（如图 $3)$，当凸四边形 $\mathit{AD}\text{'}\mathit{BC}$为等邻角四边形时，求出它的面积．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta DEC}$的面积相等，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上， $\mathit{DE}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\mathit{AB}=12$， $\mathit{EF}=9$，则 $\mathit{DF}$的长是　　．