初中数学旋转的性质试题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 $A$ $(4,4)$ ， $B$ $(1,1)$ ， $C$ $(4,1)$ ．

（1）画出与 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_1{B}_1{C}_1$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $O_1$ 顺时针旋转 $90°$ 得到△ $A_2{B}_2{C}_2$ ， $A{A}_2$ 弧是点 $A$ 所经过的路径，则旋转中心 $O_1$ 的坐标为 　　；

（3）求图中阴影部分的面积（结果保留 $\pi )$ ．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2$ ．将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60°$ ，得到△ $A_{1}B{C}_1$ ，则 $\mathit{AC}$ 边的中点 $D$ 与其对应点 $D_1$ 的距离是 　 　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=40°$ ．将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转得到△ $A\text{'}\mathit{BC}\text{'}$ ，使点 $C$ 的对应点 $C\text{'}$ 恰好落在边 $\mathit{AB}$ 上，则 $\angle \mathit{CAA}\text{'}$ 的度数是 $($ 　　 $)$

A．

$50°$

B．

$70°$

C．

$110°$

D．

$120°$

能够完全重合的平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$ 和 $\mathit{AEFG}$ 按图①方式摆放，其中 $\mathit{AD}=\mathit{AG}=5$ ， $\mathit{AB}=9$ ．点 $D$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{FG}$ 相交于点 $H$ ．

【探究】求证：四边形 $\mathit{AGHD}$ 是菱形．

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，将平行四边形纸片 $\mathit{AEFG}$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转一定的角度，使点 $F$ 与点 $C$ 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 　    　．

【操作二】将图②中的平行四边形纸片 $\mathit{AEFG}$ 绕着点 $A$ 继续顺时针旋转一定的角度，使点 $E$ 与点 $B$ 重合，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CF}$ ，如图③，若 $\sin \angle \mathit{BAD}=\frac{4}{5}$ ，则四边形 $\mathit{DCFG}$ 的面积为 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=108°$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转得到△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ ．若点 $B^{\text{'}}$ 恰好落在 $\mathit{BC}$ 边上，且 $A{B}^{\text{'}}=C{B}^{\text{'}}$ ，则 $\angle C^{\text{'}}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$18°$

B．

$20°$

C．

$24°$

D．

$28°$

如图所示，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 对应的刻度分别为0、2、4、将线段 $\mathit{CA}$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转，当点 $A$ 首次落在矩形 $\mathit{BCDE}$ 的边 $\mathit{BE}$ 上时，记为点 $A_1$ ，则此时线段 $\mathit{CA}$ 扫过的图形的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$4\pi$

B．

6

C．

$4\sqrt{3}$

D．

$\frac{8}{3}\pi$

如图，点 $E$ 在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{CD}$ 上，将 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ 到 $\mathit{\Delta ABF}$ 的位置，连接 $\mathit{EF}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{EF}$ 的垂线，垂足为点 $H$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $G$ ．若 $\mathit{BG}=3$ ， $\mathit{CG}=2$ ，则 $\mathit{CE}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{4}$

B．

$\frac{15}{4}$

C．

4

D．

$\frac{9}{2}$

定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．

理解：

（1）若四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形，则 $\angle A$ 与 $\angle C$ 的度数之和为 　     　；

证明：

（2）如图1， $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $\odot O$ 上， $\mathit{AM}$ ， $\mathit{CN}$ 相交于点 $D$ ．

求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形；

探究：

（3）如图2，在对余四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，探究线段 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 和 $\mathit{BD}$ 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．

在 $8\times 5$ 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 $\mathit{OABC}$ 的顶点坐标分别为 $O(0,0)$ ， $A(3,4)$ ， $B(8,4)$ ， $C(5,0)$ ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：

（1）将线段 $\mathit{CB}$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90°$ ，画出对应线段 $\mathit{CD}$ ；

（2）在线段 $\mathit{AB}$ 上画点 $E$ ，使 $\angle \mathit{BCE}=45°$ （保留画图过程的痕迹）；

（3）连接 $\mathit{AC}$ ，画点 $E$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点 $F$ ，并简要说明画法．

如图，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ 得到 $\mathit{\Delta DBE}$ ，点 $C$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $\mathit{AB}$ 的延长线上，连接 $\mathit{AD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}//\mathit{AD}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=1$ ，求 $A$ ， $C$ 两点旋转所经过的路径长之和．

如图，矩形 $\mathit{OABC}$ 的顶点 $A$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上， $B(-2,1)$ ，将 $\mathit{\Delta OAB}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，点 $B$ 落在 $y$ 轴上的点 $D$ 处，得到 $\mathit{\Delta OED}$ ， $\mathit{OE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ，若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x<0)$ 的图象经过点 $G$ ，则 $k$ 的值为 　　．

如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．

（1）与的数量关系是　    　．

（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则　　．

如图，四边形中，对角线与交于点，且．

（1）求证：四边形是正方形；

（2）若是边上一点与，不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点分别作及延长线的垂线，垂足分别为，．设四边形的面积为，以，为邻边的矩形的面积为，且．当时，求的长．

如图，在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是　 　．