初中数学弧长的计算解答题

如图，已知是的直径，与相切于点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）延长交于点．若，的半径为2，求的长．（结果保留

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的直径，连结 $\mathit{BD}$， $\mathit{BC}$平分 $\angle \mathit{ABD}$．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ABC}$；

（2）若 $\mathit{AD}=6$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$的长．

如图，为半圆的直径，点为半圆上任一点．

（1）若，过点作半圆的切线交直线于点．求证：；

（2）若，过点作的平行线交半圆于点．当以点，，，为顶点的四边形为菱形时，求的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边长一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $E$，点 $O$在线段 $\mathit{ED}$的延长线上，且 $\odot O$经过 $C$， $D$两点．

（1）判断直线 $\mathit{AC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径为2， $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$的长为 $\frac{10}{9}\pi$，请求出 $\angle A$的度数．

如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，，均在格点上，在网格中将点按下列步骤移动：

第一步：点绕点顺时针旋转得到点；

第二步：点绕点顺时针旋转得到点；

第三步：点绕点顺时针旋转回到点．

（1）请用圆规画出点经过的路径；

（2）所画图形是　　对称图形；

（3）求所画图形的周长（结果保留．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 中， $\angle \mathit{ABO}=90°$ ， $\angle \mathit{OAB}=30°$ ，以点 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 为半径的圆交 $\mathit{BO}$ 的延长线于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{OA}$ 的平行线，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{AD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 为 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{OB}=2$ ，求弧 $\mathit{CD}$ 的长．

如图1和2，中，，，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．

（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出与的位置关系；

（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；

（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．

阅读理解：

我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．

例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．

问题：如图1，已知 $\mathit{EF}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中位线， $M$是边 $\mathit{BC}$上一动点，连接 $\mathit{AM}$交 $\mathit{EF}$于点 $P$，那么动点 $P$为线段 $\mathit{AM}$中点．

理由： $\because$线段 $\mathit{EF}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中位线， $\therefore \mathit{EF}//\mathit{BC}$，

由平行线分线段成比例得：动点 $P$为线段 $\mathit{AM}$中点．

由此你得到动点 $P$的运动轨迹是：　          　．

知识应用：

如图2，已知 $\mathit{EF}$为等边 $\mathit{\Delta ABC}$边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上的动点，连接 $\mathit{EF}$；若 $\mathit{AF}=\mathit{BE}$，且等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为8，求线段 $\mathit{EF}$中点 $Q$的运动轨迹的长．

拓展提高：

如图3， $P$为线段 $\mathit{AB}$上一动点（点 $P$不与点 $A$、 $B$重合），在线段 $\mathit{AB}$的同侧分别作等边 $\mathit{\Delta APC}$和等边 $\mathit{\Delta PBD}$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$，交点为 $Q$．

（1）求 $\angle \mathit{AQB}$的度数；

（2）若 $\mathit{AB}=6$，求动点 $Q$运动轨迹的长．

如图，，为中点，点在线段上（不与点，重合），将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．

（1）求证：；

（2）当时，求的长（结果保留；

（3）若的外心在扇形的内部，求的取值范围．

如图，半圆 $O$ 的直径 $\mathit{AB}=4$ ，以长为2的弦 $\mathit{PQ}$ 为直径，向点 $O$ 方向作半圆 $M$ ，其中 $P$ 点在 $\stackrel{̂}{\mathit{AQ}}$ 上且不与 $A$ 点重合，但 $Q$ 点可与 $B$ 点重合．

发现： $\stackrel{̂}{\mathit{AP}}$ 的长与 $\stackrel{̂}{\mathit{QB}}$ 的长之和为定值 $l$ ，求 $l:$

思考：点 $M$ 与 $\mathit{AB}$ 的最大距离为 　　，此时点 $P$ ， $A$ 间的距离为 　　；

点 $M$ 与 $\mathit{AB}$ 的最小距离为 　　，此时半圆 $M$ 的弧与 $\mathit{AB}$ 所围成的封闭图形面积为 　　；

探究：当半圆 $M$ 与 $\mathit{AB}$ 相切时，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AP}}$ 的长．

（注：结果保留 $\pi$ ， $\cos 35°=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $\cos 55°=\frac{\sqrt{3}}{3})$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$，点 $O$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部， $\odot O$经过 $B$， $C$两点，交 $\mathit{AB}$于点 $D$，连接 $\mathit{CO}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $G$，以 $\mathit{GD}$， $\mathit{GC}$为邻边作 $▱\mathit{GDEC}$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由．

（2）若点 $B$是 $\stackrel{̂}{\mathit{DBC}}$的中点， $\odot O$的半径为2，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=m$， $\mathit{BC}=n$，将此矩形绕点 $B$顺时针方向旋转 $\theta (0°<\theta <90°)$得到矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$，点 $A_1$在边 $\mathit{CD}$上．

（1）若 $m=2$， $n=1$，求在旋转过程中，点 $D$到点 $D_1$所经过路径的长度；

（2）将矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$继续绕点 $B$顺时针方向旋转得到矩形 $A_{2}B{C}_2{D}_2$，点 $D_2$在 $\mathit{BC}$的延长线上，设边 $A_{2}B$与 $\mathit{CD}$交于点 $E$，若 $\frac{A_{1}E}{\mathit{EC}}=\sqrt{6}-1$，求 $\frac{n}{m}$的值．

在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都是网格线的交点，已知 $B$， $C$两点的坐标分别为 $(-3,0)$， $(-1,-1)$．

（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点 $A$的坐标．

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$绕着坐标原点顺时针旋转 $90°$，画出旋转后的△ $A\text{'}{B}^{\text{'}}C\text{'}$．

（3）接写出在上述旋转过程中，点 $A$所经过的路径长．

在扇形 $\mathit{AOB}$ 中，半径 $\mathit{OA}=6$ ，点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上，连结 $\mathit{PB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBP}$ 沿 $\mathit{PB}$ 折叠得到△ $O\text{'}\mathit{BP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle O=75°$ ，且 $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $\angle \mathit{APO}\text{'}$ 的度数．

②求 $\mathit{AP}$ 的长．

（2）如图2， $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，且 $\mathit{PD}//\mathit{OB}$ ，求 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的长．

如图， $\odot O$的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 $A_n(n$为 $1~12$的整数），过点 $A_7$作 $\odot O$的切线交 $A_1{A}_{11}$延长线于点 $P$．

（1）通过计算比较直径和劣弧 $\stackrel{̂}{A_7{A}_{11}}$长度哪个更长；

（2）连接 $A_7{A}_{11}$，则 $A_7{A}_{11}$和 $P{A}_1$有什么特殊位置关系？请简要说明理由；

（3）求切线长 $P{A}_7$的值．