初中数学圆周角定理解答题

如图， $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $B$， $\mathit{AO}$交 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{AO}$的延长线交 $\odot O$于点 $D$， $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BCD}}$上不与 $B$， $D$重合的点， $\sin A=\frac{1}{2}$．

（1）求 $\angle \mathit{BED}$的大小；

（2）若 $\odot O$的半径为3，点 $F$在 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\mathit{BF}=3\sqrt{3}$，求证： $\mathit{DF}$与 $\odot O$相切．

四边形 $\mathit{ABCD}$ 是 $\odot O$ 的圆内接四边形，线段 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，连结 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ ．点 $H$ 是线段 $\mathit{BD}$ 上的一点，连结 $\mathit{AH}$ 、 $\mathit{CH}$ ，且 $\angle \mathit{ACH}=\angle \mathit{CBD}$ ， $\mathit{AD}=\mathit{CH}$ ， $\mathit{BA}$ 的延长线与 $\mathit{CD}$ 的延长线相交于点 $P$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ADCH}$ 是平行四边形；

（2）若 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ， $\mathit{PB}=\sqrt{5}\mathit{PD}$ ， $\mathit{AB}+\mathit{CD}=2(\sqrt{5}+1)$

①求证： $\mathit{\Delta DHC}$ 为等腰直角三角形；

②求 $\mathit{CH}$ 的长度．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$，点 $O$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部， $\odot O$经过 $B$， $C$两点，交 $\mathit{AB}$于点 $D$，连接 $\mathit{CO}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $G$，以 $\mathit{GD}$， $\mathit{GC}$为邻边作 $▱\mathit{GDEC}$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由．

（2）若点 $B$是 $\stackrel{̂}{\mathit{DBC}}$的中点， $\odot O$的半径为2，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长．

如图，在中，是斜边的中点，以为直径作圆交于点，延长至，使，连接、，交圆于点．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

如图，以 $\mathit{AB}$边为直径的 $\odot O$经过点 $P$， $C$是 $\odot O$上一点，连接 $\mathit{PC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，且 $\angle \mathit{ACP}=60°$， $\mathit{PA}=\mathit{PD}$．

（1）试判断 $\mathit{PD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若点 $C$是弧 $\mathit{AB}$的中点，已知 $\mathit{AB}=4$，求 $\mathit{CE}\cdot \mathit{CP}$的值．

如图，、、、、是上的5等分点，连接、、、、，得到一个五角星图形和五边形．

（1）计算的度数；

（2）连接，证明：；

（3）求证：．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形，以 $\mathit{AD}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{DB}$交 $\odot O$于点 $H$， $E$是 $\mathit{BC}$上的一点，且 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{BF}=2$， $\mathit{DH}=\sqrt{5}$，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{ACB}=2\angle \mathit{ADE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=3$ ， $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ，求 $\widehat{\mathit{CD}}$ 的长．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=42°$ ，点 $D$ 是 $\odot O$ 上一点．

（Ⅰ）如图①，若 $\mathit{BD}$ 为 $\odot O$ 的直径，连接 $\mathit{CD}$ ，求 $\angle \mathit{DBC}$ 和 $\angle \mathit{ACD}$ 的大小；

（Ⅱ）如图②，若 $\mathit{CD}//\mathit{BA}$ ，连接 $\mathit{AD}$ ，过点作 $\odot O$ 的切线，与 $\mathit{OC}$ 的延长线交于点 $E$ ，求 $\angle E$ 的大小．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点 $(C$不与点 $A$， $B$重合）连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$．将 $\mathit{\Delta ACD}$沿 $\mathit{AC}$翻折，点 $D$落在点 $E$处得 $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{AE}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=15°$， $\mathit{OA}=2$，求阴影部分面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的中线，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$ 于点 $M$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{MN}$ 于 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGD}\backsim \mathit{\Delta DMA}$ ；

（2）求证：直线 $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，连结 $\mathit{OC}$，弦 $\mathit{AD}$分别交 $\mathit{OC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，其中点 $E$是 $\mathit{AD}$的中点．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CBA}$．

（2）求 $\mathit{OE}$的长．

如图， 在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{AC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$为 $\mathit{BC}$的中点， 连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$．

（1） 求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2） 若 $\mathit{CF}=2$， $\mathit{DF}=4$，求 $\odot O$直径的长 ．

如图， $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta ACD}$均为直角三角形， $\angle \mathit{ACE}=90°$， $\angle \mathit{ADC}=90°$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $P$，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$恰好经过点 $E$，并与 $\mathit{AC}$， $\mathit{AE}$分别交于点 $B$和点 $F$．

（1）求证： $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{EAC}$．

（2）若 $\mathit{PC}=\frac{2}{3}\mathit{PA}$， $\mathit{PF}=1$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\cong \mathit{\Delta ACD}$ ；

（2）判断直线 $\mathit{DE}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由．