初中数学圆周角定理解答题

如图， $\mathit{AB}$是以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$的切线， $D$为半圆上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是半圆 $O$的切线；

（2）连接 $\mathit{CD}$，求证： $\angle A=2\angle \mathit{CDE}$；

（3）若 $\angle \mathit{CDE}=27°$， $\mathit{OB}=2$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长．

如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求 $\angle \mathit{CDE}$的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3）若 $\mathit{AC}＝2\sqrt{5}\mathit{DE}$，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{ABD}$的值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=36°$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$，与 $\angle \mathit{ABC}$的平分线交于点 $D$， $\mathit{BD}$与 $\mathit{AC}$交于点 $E$，与 $\odot O$交于点 $F$．

（1）求 $\angle \mathit{DAF}$的度数；

（2）求证： $A{E}^2=\mathit{EF}·\mathit{ED}$；

（3）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线．

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．

如图，点 $C$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{OD}$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$ ，作 $\angle \mathit{EBP}=\angle \mathit{EBC}$ ， $\mathit{BP}$ 交 $\mathit{OE}$ 的延长线于点 $P$ ．

（1）求证： $\mathit{PB}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=2$ ， $\mathit{PD}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径．

已知：△ ABC内接于⊙ O， D是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 上一点， $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 H．

（1）如图1，当圆心 O在 AB边上时，求证： $\mathit{AC}＝2\mathit{OH}$ ；

（2）如图2，当圆心 O在△ ABC外部时，连接 AD、 CD， AD与 BC交于点 P，求证： $\angle \mathit{ACD}＝\angle \mathit{APB}$ ；

（3）在（2）的条件下，如图3，连接 BD， E为⊙ O上一点，连接 DE交 BC于点 Q、交 AB于点 N，连接 OE， BF为⊙ O的弦， $\mathit{BF}\perp \mathit{OE}$ 于点 R交 DE于点 G，若 $\angle \mathit{ACD}﹣\angle \mathit{ABD}＝2\angle \mathit{BDN}$ ， $\mathit{AC}=5\sqrt{5}$ ， $\mathit{BN}=3\sqrt{5}$ , $\mathrm{}\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}$ ,求 BF的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， 直线 $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于点 $C$，且与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $E$，点 $C$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BF}}$的中点 ．

（1） 求证： $\mathit{AD}\perp \mathit{CD}$；

（2） 若 $\angle \mathit{CAD}=30°$， $\odot O$的半径为 3 ，一只蚂蚁从点 $B$出发， 沿着 $\mathit{BE}-\mathit{EC}-\stackrel{̂}{\mathit{CB}}$爬回至点 $B$，求蚂蚁爬过的路程 $(\pi \approx 3.14$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， 结果保留一位小数） ．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$内接于圆 $O$，连接 $\mathit{BD}$， $\angle \mathit{BAD}=105°$， $\angle \mathit{DBC}=75°$．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CD}$；

（2）若圆 $O$的半径为3，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{ACB}=2\angle \mathit{ADE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=3$ ， $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ，求 $\widehat{\mathit{CD}}$ 的长．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=42°$ ，点 $D$ 是 $\odot O$ 上一点．

（Ⅰ）如图①，若 $\mathit{BD}$ 为 $\odot O$ 的直径，连接 $\mathit{CD}$ ，求 $\angle \mathit{DBC}$ 和 $\angle \mathit{ACD}$ 的大小；

（Ⅱ）如图②，若 $\mathit{CD}//\mathit{BA}$ ，连接 $\mathit{AD}$ ，过点作 $\odot O$ 的切线，与 $\mathit{OC}$ 的延长线交于点 $E$ ，求 $\angle E$ 的大小．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点 $(C$不与点 $A$， $B$重合）连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$．将 $\mathit{\Delta ACD}$沿 $\mathit{AC}$翻折，点 $D$落在点 $E$处得 $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{AE}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=15°$， $\mathit{OA}=2$，求阴影部分面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的中线，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$ 于点 $M$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{MN}$ 于 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGD}\backsim \mathit{\Delta DMA}$ ；

（2）求证：直线 $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，连结 $\mathit{OC}$，弦 $\mathit{AD}$分别交 $\mathit{OC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，其中点 $E$是 $\mathit{AD}$的中点．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CBA}$．

（2）求 $\mathit{OE}$的长．

如图， 在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{AC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$为 $\mathit{BC}$的中点， 连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$．

（1） 求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2） 若 $\mathit{CF}=2$， $\mathit{DF}=4$，求 $\odot O$直径的长 ．

如图， $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta ACD}$均为直角三角形， $\angle \mathit{ACE}=90°$， $\angle \mathit{ADC}=90°$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $P$，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$恰好经过点 $E$，并与 $\mathit{AC}$， $\mathit{AE}$分别交于点 $B$和点 $F$．

（1）求证： $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{EAC}$．

（2）若 $\mathit{PC}=\frac{2}{3}\mathit{PA}$， $\mathit{PF}=1$，求 $\mathit{AF}$的长．