初中数学平行四边形的性质解答题

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y=x+b$的图象经过点 $A(-2,0)$，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象交于 $B(a,4)$．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）设 $M$是直线 $\mathit{AB}$上一点，过 $M$作 $\mathit{MN}//x$轴，交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象于点 $N$，若 $A$， $O$， $M$， $N$为顶点的四边形为平行四边形，求点 $M$的坐标．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足分别为 $E$， $F$， $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$分别与 $\mathit{BD}$交于点 $G$和 $H$，且 $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$．

（1）若 $\tan \angle \mathit{ABE}=2$，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DH}$．

如右图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$延长线上的点，且 $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于点 $G$、 $H$．求证： $\mathit{FG}=\mathit{EH}$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAB}$，已知 $\mathit{CE}=6$， $\mathit{BE}=8$， $\mathit{DE}=10$．

（1）求证： $\angle \mathit{BEC}=90°$；

（2）求 $\cos \angle \mathit{DAE}$．

点 $P$是平行四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$所在直线上的一个动点（点 $P$不与点 $A$、 $C$重合），分别过点 $A$、 $C$向直线 $\mathit{BP}$作垂线，垂足分别为点 $E$、 $F$．点 $O$为 $\mathit{AC}$的中点．

（1）如图1，当点 $P$与点 $O$重合时，线段 $\mathit{OE}$和 $\mathit{OF}$的关系是　   　；

（2）当点 $P$运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点 $P$在线段 $\mathit{OA}$的延长线上运动，当 $\angle \mathit{OEF}=30°$时，试探究线段 $\mathit{CF}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{OE}$之间的关系．

如图，将平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$沿一条直线折叠，使点 $A$与点 $C$重合，点 $D$落在点 $G$处，折痕为 $\mathit{EF}$．求证：

（1） $\angle \mathit{ECB}=\angle \mathit{FCG}$；

（2） $\mathit{\Delta EBC}\cong \mathit{\Delta FGC}$．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{DE}=\mathit{BF}$，直线 $\mathit{EF}$与 $\mathit{BA}$、 $\mathit{DC}$的延长线分别交于点 $G$， $H$．求证：

（1） $\mathit{\Delta DEH}\cong \mathit{\Delta BFG}$；

（2） $\mathit{AG}=\mathit{CH}$．

如图，把平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{BD}$折叠，点 $C$落在点 $C\text{'}$处， $\mathit{BC}\text{'}$与 $\mathit{AD}$相交于点 $E$．

（1）连接 $\mathit{AC}\text{'}$，则 $\mathit{AC}\text{'}$与 $\mathit{BD}$的位置关系是　          　；

（2） $\mathit{EB}$与 $\mathit{ED}$相等吗？证明你的结论．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $E$是 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AE}//\mathit{DC}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$于点 $F$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECD}$是菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=10$，求 $\mathit{EF}$的长．

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$． $E$， $F$是 $\mathit{AC}$上的两点，并且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DOE}\cong \mathit{\Delta BOF}$；

（2）若 $\mathit{BD}=\mathit{EF}$，连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{DF}$，判断四边形 $\mathit{EBFD}$的形状，并说明理由．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{AB}$边的中点， $\mathit{DE}$的延长线与 $\mathit{CB}$的延长线交于点 $F$．

求证： $\mathit{BC}=\mathit{BF}$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{CE}$相交于点 $G$．

（1）证明： $\mathit{\Delta CFG}\cong \mathit{\Delta AEG}$．

（2）若 $\mathit{AB}=4$，求四边形 $\mathit{AGCD}$的对角线 $\mathit{GD}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为 $E$， $F$，且 $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $▱\mathit{ABCD}$是菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\mathit{AC}=6$，求 $▱\mathit{ABCD}$的面积．

平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=60°$， $\mathit{AB}=2\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$的中垂线分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$于点 $E$， $F$，垂足为 $O$．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$；

（2）若 $\mathit{AD}=6$，求 $\tan \angle \mathit{ABD}$的值．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ，四边形 $\mathit{EBOC}$ 是平行四边形， $\mathit{EB}$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\angle F=30°$ ， $\mathit{EB}=4$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 $\pi$ ）.