初中数学等腰三角形的性质解答题

图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段的端点在格点上．

（1）在图①、图2中，以为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）

（2）在图③中，以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．

如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．

（1）当点在上时，求点与点的最短距离；

（2）若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长；

（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；

（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．

如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．

（1）求证：；

（2）连接，，若，，，求的长．

如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

已知：如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 为锐角三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$ ．

求作：线段 $\mathit{BP}$ ，使得点 $P$ 在直线 $\mathit{CD}$ 上，且 $\angle \mathit{ABP}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}$ ．

作法：①以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AC}$ 长为半径画圆，交直线 $\mathit{CD}$ 于 $C$ ， $P$ 两点；

②连接 $\mathit{BP}$ ．

线段 $\mathit{BP}$ 就是所求作的线段．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明： $\because \mathit{CD}//\mathit{AB}$ ，

$\therefore \angle \mathit{ABP}=$ 　 $\angle \mathit{BPC}$ 　．

$\because \mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，

$\therefore$ 点 $B$ 在 $\odot A$ 上．

又 $\because$ 点 $C$ ， $P$ 都在 $\odot A$ 上，

$\therefore \angle \mathit{BPC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}($ 　　 $)$ （填推理的依据）．

$\therefore \angle \mathit{ABP}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}$ ．

如图，△ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于点D已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C 

（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=3，求图中阴影部分的面积

已知：如图，点在的直径的延长线上，点在上，且，∠．

（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．

操作题：如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，P是⊙O上一点．

（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；
（2）结合图②，说明你这样画的理由．

如图，在四边形ABCD中，点E、F是BC、CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．

（1）求证：AB=AD．
（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

已知如图（1）：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．

（1）写出线段EF与BE、CF间的数量关系？（不证明）
（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图（2），图中线段EF与BE、CF间是否存在（1）中数量关系？请说明理由．
（3）若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如图（3），这时图中线段EF与BE，CF间存在什么数量关系？请说明理由．

（年贵州省铜仁市）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．

（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．

（贵州省安顺市）（本题12分）
如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求的值．