初中数学等腰三角形的性质试题

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连结 $\mathit{AD}$ ．

（1）如图1，若 $\angle C=60°$ ，点 $D$ 关于直线 $\mathit{AB}$ 的对称点为点 $E$ ，连结 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{DE}$ ，则 $\angle \mathit{BDE}=$ 　　；

（2）若 $\angle C=60°$ ，将线段 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{AE}$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．

①在图2中补全图形；

②探究 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BE}$ 的数量关系，并证明；

（3）如图3，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DE}}=k$ ，且 $\angle \mathit{ADE}=\angle C$ ．试探究 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{AC}$ 之间满足的数量关系，并证明．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=4$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上一点， $\mathit{EF}\perp \mathit{AE}$ ，将 $\mathit{\Delta ECF}$ 沿 $\mathit{EF}$ 翻折得△ $\mathit{EC}\text{'}F$ ，连接 $\mathit{AC}\text{'}$ ，当 $\mathit{BE}=$ 　　时， $\mathit{\Delta AEC}\text{'}$ 是以 $\mathit{AE}$ 为腰的等腰三角形．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相交于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若弦 $\mathit{MN}$垂直于 $\mathit{AB}$，垂足为 $G$， $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{4}$， $\mathit{MN}=\sqrt{3}$，求 $\odot O$的半径；

（3）在（2）的条件下，当 $\angle \mathit{BAC}=36°$时，求线段 $\mathit{CE}$的长．

在等腰 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$， $\mathit{\Delta ABC}$是直角三角形， $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{AED}$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{BD}$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图①所示，求证： $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{CD}$；

（2）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转，顶点 $B$落在边 $\mathit{AD}$上时，如图②所示，当 $\angle \mathit{EAD}=60°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段 $\mathit{EF}$和 $\mathit{CD}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{BO}$的延长线交边 $\mathit{AC}$于点 $D$．

[小题1]求证： $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{ABD}$；

[小题2]当 $\mathit{\Delta BCD}$是等腰三角形时，求 $\angle \mathit{BCD}$的大小；

[小题3]当 $\mathit{AD}=2$， $\mathit{CD}=3$时，求边 $\mathit{BC}$的长．

我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=3$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，试判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2， $\mathit{\Delta ABC}$是“等高底”三角形， $\mathit{BC}$是”等底”，作 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $\mathit{BC}$所在直线的对称图形得到△ $A^{\text{'}}\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AA}\text{'}$交直线 $\mathit{BC}$于点 $D$．若点 $B$是△ $\mathit{AA}\text{'}C$的重心，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知 $l_1//l_2$， $l_1$与 $l_2$之间的距离为2．“等高底” $\mathit{\Delta ABC}$的“等底” $\mathit{BC}$在直线 $l_1$上，点 $A$在直线 $l_2$上，有一边的长是 $\mathit{BC}$的 $\sqrt{2}$倍．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$按顺时针方向旋转 $45°$得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $A\text{'}C$所在直线交 $l_2$于点 $D$．求 $\mathit{CD}$的值．

如图，已知线段 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$于点 $M$，且 $\mathit{AM}=\mathit{BM}$， $P$是射线 $\mathit{MN}$上一动点， $E$， $D$分别是 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$的中点，过点 $A$， $M$， $D$的圆与 $\mathit{BP}$的另一交点 $C$（点 $C$在线段 $\mathit{BD}$上），连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$．

（1）当 $\angle \mathit{APB}=28°$时，求 $\angle B$和 $\stackrel{̂}{\mathit{CM}}$的度数；

（2）求证： $\mathit{AC}=\mathit{AB}$．

（3）在点 $P$的运动过程中

①当 $\mathit{MP}=4$时，取四边形 $\mathit{ACDE}$一边的两端点和线段 $\mathit{MP}$上一点 $Q$，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 $Q$为锐角顶点，求所有满足条件的 $\mathit{MQ}$的值；

②记 $\mathit{AP}$与圆的另一个交点为 $F$，将点 $F$绕点 $D$旋转 $90°$得到点 $G$，当点 $G$恰好落在 $\mathit{MN}$上时，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{DG}$， $\mathit{EG}$，直接写出 $\mathit{\Delta ACG}$和 $\mathit{\Delta DEG}$的面积之比．

如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=3$， $\angle \mathit{BAC}=100°$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段 $\mathit{AD}$上任取一点 $P$，连接 $\mathit{PB}$．将线段 $\mathit{PB}$绕点 $P$按逆时针方向旋转 $80°$，点 $B$的对应点是点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，得到 $\mathit{\Delta BPE}$．小明发现，随着点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上位置的变化，点 $E$的位置也在变化，点 $E$可能在直线 $\mathit{AD}$的左侧，也可能在直线 $\mathit{AD}$上，还可能在直线 $\mathit{AD}$的右侧．

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点 $E$在直线 $\mathit{AD}$上时，如图②所示．

① $\angle \mathit{BEP}=$　    　 $°$；

②连接 $\mathit{CE}$，直线 $\mathit{CE}$与直线 $\mathit{AB}$的位置关系是　    　．

（2）请在图③中画出 $\mathit{\Delta BPE}$，使点 $E$在直线 $\mathit{AD}$的右侧，连接 $\mathit{CE}$．试判断直线 $\mathit{CE}$与直线 $\mathit{AB}$的位置关系，并说明理由．

（3）当点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上运动时，求 $\mathit{AE}$的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上， $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的长分别是一元二次方程 $x^2-7x+12=0$的两个根 $(\mathit{BC}>\mathit{AB})$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$，边 $\mathit{CD}$交 $y$轴于点 $E$，动点 $P$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发沿折线段 $\mathit{AD}-\mathit{DE}$向点 $E$运动，运动的时间为 $t(0⩽t⩽6)$秒，设 $\mathit{\Delta BPE}$的面积为 $S$．

（1）求点 $D$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$运动的过程中，是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BEP}$是以 $\mathit{BE}$为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）数学理解：如图①， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形，过斜边 $\mathit{AB}$的中点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，求 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$之间的数量关系；

（2）问题解决：如图②，在任意直角 $\mathit{\Delta ABC}$内，找一点 $D$，过点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，若 $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{AF}$，求 $\angle \mathit{ADB}$的度数；

（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 $\mathit{ED}$， $\mathit{FD}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$， $N$，求 $\mathit{MN}$， $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$的数量关系．

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$在 $\mathit{BC}$上，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AD}$分别交 $\mathit{AD}$于 $E$， $\mathit{AC}$于 $F$．

（1）如图1，若 $\mathit{BD}=\mathit{BA}$，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DBE}$；

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=4\mathit{DC}$，取 $\mathit{AB}$的中点 $G$，连接 $\mathit{CG}$交 $\mathit{AD}$于 $M$，求证：① $\mathit{GM}=2\mathit{MC}$；② $A{G}^2=\mathit{AF}·\mathit{AC}$．

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=2$， $D$是 $\mathit{AC}$边上的一个动点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{BD}$所在直线折叠，使点 $A$落在点 $P$处．

（1）如图1，若点 $D$是 $\mathit{AC}$中点，连接 $\mathit{PC}$．

①写出 $\mathit{BP}$， $\mathit{BD}$的长；

②求证：四边形 $\mathit{BCPD}$是平行四边形．

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=\mathit{AD}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$，求 $\mathit{PH}$的长．

已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点，点是线段上一定点（其中

（1）如图1，若点在边上（不与重合），将绕点逆时针旋转后，角的两边、分别交射线于点、．

①求证：；      ②探究：、、之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

（2）拓展：如图2，若点在的延长线上（不与重合），过点作，交射线于点，你认为（1）中、、之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

如图，半径为4的中，弦的长度为，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．

（1）求的度数；

（2）当点沿着劣弧从点开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度；

（3）分别记，的面积为，，当时，求弦的长度．