初中数学等腰三角形的性质试题

$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，过点 $B$的直线把 $\mathit{\Delta ABC}$分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是　　．

如图，平行四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAD}$，分别交 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BD}$于点 $E$、 $P$，连接 $\mathit{OE}$， $\angle \mathit{ADC}=60°$， $\mathit{AB}=\frac{1}{2}\mathit{BC}=1$，则下列结论：

① $\angle \mathit{CAD}=30°$② $\mathit{BD}=\sqrt{7}$③ $S_{\mathit{平行四边形ABCD}}=\mathit{AB}\cdot \mathit{AC}$④ $\mathit{OE}=\frac{1}{4}\mathit{AD}$⑤ $S_{\mathit{\Delta APO}}=\frac{\sqrt{3}}{12}$，正确的个数是 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$，若 $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{1}{3}$， $\mathit{BC}=2\sqrt{6}$，则 $\odot O$的半径为 $($　　 $)$

A． $3\sqrt{6}$B． $6\sqrt{6}$C． $4\sqrt{2}$D． $2\sqrt{2}$

如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 $\mathit{AB}$的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出以线段 $\mathit{AB}$为一边的矩形 $\mathit{ABCD}$（不是正方形），且点 $C$和点 $D$均在小正方形的顶点上；

（2）在图中画出以线段 $\mathit{AB}$为一腰，底边长为 $2\sqrt{2}$的等腰三角形 $\mathit{ABE}$，点 $E$在小正方形的顶点上，连接 $\mathit{CE}$，请直接写出线段 $\mathit{CE}$的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=100°$，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上，连接 $\mathit{AD}$，若 $\mathit{\Delta ABD}$为直角三角形，则 $\angle \mathit{ADC}$的度数为　　．

如图，以 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$为圆心， $\mathit{BA}$长为半径画弧，交 $\mathit{BC}$边于点 $D$，连接 $\mathit{AD}$．若 $\angle B=40°$， $\angle C=36°$，则 $\angle \mathit{DAC}$的大小为　　度．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以点 $C$为圆心， $\mathit{CB}$长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$于点 $B$和点 $D$，再分别以点 $B$， $D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{BD}$长为半径画弧，两弧相交于点 $M$，作射线 $\mathit{CM}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$．若 $\mathit{AE}=2$， $\mathit{BE}=1$，则 $\mathit{EC}$的长度是 $($　　 $)$

A．2B．3C． $\sqrt{3}$D． $\sqrt{5}$

如图，点 $A$， $B$， $C$均在 $\odot O$上，若 $\angle A=66°$，则 $\angle \mathit{OCB}$的度数是 $($　　 $)$

A． $24°$B． $28°$C． $33°$D． $48°$

请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：

（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=a$，将边 $\mathit{AB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$．求证： $\mathit{\Delta BCD}$的面积为 $\frac{1}{2}{a}^2$．（提示：过点 $D$作 $\mathit{BC}$边上的高 $\mathit{DE}$，可证 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta BDE}$）

（2）探究2：如图2，在一般的 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=a$，将边 $\mathit{AB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$．请用含 $a$的式子表示 $\mathit{\Delta BCD}$的面积，并说明理由．

（3）探究3：如图3，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BC}=a$，将边 $\mathit{AB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$．试探究用含 $a$的式子表示 $\mathit{\Delta BCD}$的面积，要有探究过程．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\odot O$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AE}=8$，求 $\mathit{BF}$的长．

已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 $x^2-6x+8=0$的根，则该三角形的周长为 $($　　 $)$

A．8B．10C．8或10D．12

等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点 $A(-6,0)$ ，点 $B$ 在原点， $\mathit{CA}=\mathit{CB}=5$ ，把等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 沿 $x$ 轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置② $\dots$ 依此规律，第15次翻转后点 $C$ 的横坐标是 　         　．

如图， $\mathit{AB}//\mathit{CE}$ ， $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{CE}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ， $\angle F=20°$ ，则 $\angle B$ 的度数为 　           　．

已知：如图， $\angle \mathit{ABC}$，射线 $\mathit{BC}$上一点 $D$．

求作：等腰 $\mathit{\Delta PBD}$，使线段 $\mathit{BD}$为等腰 $\mathit{\Delta PBD}$的底边，点 $P$在 $\angle \mathit{ABC}$内部，且点 $P$到 $\angle \mathit{ABC}$两边的距离相等．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形， $O$是底边 $\mathit{BC}$的中点，腰 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $D$， $\mathit{OB}$与 $\odot O$相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=1$．求阴影部分的面积．