初中数学线段垂直平分线的性质试题

如图，已知 $\mathit{BD}$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段 $\mathit{BD}$的垂直平分线，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于 $E$、 $F$（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，问四边形 $\mathit{BEDF}$是什么四边形？请说明理由．

如图，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$的底边 $\mathit{BC}=20$，面积为120，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{BF}=3\mathit{FC}$， $\mathit{EG}$是腰 $\mathit{AC}$的垂直平分线，若点 $D$在 $\mathit{EG}$上运动，则 $\mathit{\Delta CDF}$周长的最小值为　　．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\sqrt{2}+1$，点 $D$， $E$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AD}=\mathit{AE}=1$，连接 $\mathit{DE}$．现将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$顺时针方向旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <360°)$，如图2，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$．

（1）当 $0°<\alpha <180°$时，求证： $\mathit{CE}=\mathit{BD}$；

（2）如图3，当 $\alpha =90°$时，延长 $\mathit{CE}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$，求证： $\mathit{CF}$垂直平分 $\mathit{BD}$；

（3）在旋转过程中，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积的最大值，并写出此时旋转角 $\alpha$的度数．

如图，已知在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}<90°$ ， $\mathit{AB}\ne \mathit{BC}$ ， $\mathit{BE}$ 是 $\mathit{AC}$ 边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点 $B$ ， $C$ 为圆心，大于线段 $\mathit{BC}$ 长度一半的长为半径作弧，相交于点 $M$ ， $N$ ；②过点 $M$ ， $N$ 作直线 $\mathit{MN}$ ，分别交 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{BE}$ 于点 $D$ ， $O$ ；③连接 $\mathit{CO}$ ， $\mathit{DE}$ ．则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{OB}=\mathit{OC}$

B．

$\angle \mathit{BOD}=\angle \mathit{COD}$

C．

$\mathit{DE}//\mathit{AB}$

D．

$\mathit{DB}=\mathit{DE}$

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=30°$，点 $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的重心，连接 $\mathit{CO}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，连接 $\mathit{AF}$交 $\mathit{CE}$于点 $M$，则 $\frac{\mathit{MO}}{\mathit{MF}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $\frac{\sqrt{5}}{4}$C． $\frac{2}{3}$D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

如图，已知边长为2的等边三角形 $\mathit{ABC}$中，分别以点 $A$， $C$为圆心， $m$为半径作弧，两弧交于点 $D$，连结 $\mathit{BD}$．若 $\mathit{BD}$的长为 $2\sqrt{3}$，则 $m$的值为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的圆交 $\mathit{AC}$于点 $D$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，延长 $\mathit{AE}$至点 $F$，使 $\mathit{EF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{FB}$， $\mathit{FC}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABFC}$是菱形；

（2）若 $\mathit{AD}=7$， $\mathit{BE}=2$，求半圆和菱形 $\mathit{ABFC}$的面积．

（1）如图1，已知 $\mathit{EK}$垂直平分 $\mathit{BC}$，垂足为 $D$， $\mathit{AB}$与 $\mathit{EK}$相交于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．求证： $\angle \mathit{AFE}=\angle \mathit{CFD}$．

（2）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{GMN}$中， $\angle M=90°$， $P$为 $\mathit{MN}$的中点．

①用直尺和圆规在 $\mathit{GN}$边上求作点 $Q$，使得 $\angle \mathit{GQM}=\angle \mathit{PQN}$（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②在①的条件下，如果 $\angle G=60°$，那么 $Q$是 $\mathit{GN}$的中点吗？为什么？

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\angle B$是锐角， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$， $M$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{ME}$．若 $\angle \mathit{EMD}=90°$，则 $\cos B$的值为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}>90°$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 长为半径画弧，两弧交于点 $D$ ， $E$ ．作直线 $\mathit{DE}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $M$ ．分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{AC}$ 长为半径画弧，两弧交于点 $F$ ， $G$ ．作直线 $\mathit{FG}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ．连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{AN}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ，则 $\angle \mathit{MAN}=$ 　　．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2$， $\mathit{AB}=\sqrt{6}$， $\angle B$是锐角， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$， $F$是 $\mathit{AB}$的中点，连结 $\mathit{DF}$、 $\mathit{EF}$．若 $\angle \mathit{EFD}=90°$，则 $\mathit{AE}$长为 $($　　 $)$

A．2B． $\sqrt{5}$C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{DE}$是 $\mathit{AC}$的垂直平分线，且分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $D$和 $E$， $\angle B=60°$， $\angle C=25°$，则 $\angle \mathit{BAD}$为 $($　　 $)$

A． $50°$B． $70°$C． $75°$D． $80°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}<\mathit{BC}$ ．分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径画弧，两弧交于 $D$ ， $E$ 两点，直线 $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ．以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AF}$ 为半径画弧，交 $\mathit{BC}$ 延长线于点 $H$ ，连接 $\mathit{AH}$ ．若 $\mathit{BC}=3$ ，则 $\mathit{\Delta AFH}$ 的周长为 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle C=70°$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $\mathit{MN}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，则 $\angle \mathit{BDC}=$

　　 $°$ ．

如图，已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $\angle \mathit{ACB}$ 的平分线 $\mathit{CD}$ ；作 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆 $\odot O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=\frac{48}{5}$ ， $\odot O$ 的半径为5，则 $\sin B=$ 　　．（如需画草图，请使用图 $2)$