初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $P$是对角线 $\mathit{BD}$上的一点，过点 $C$作 $\mathit{CQ}//\mathit{DB}$，且 $\mathit{CQ}=\mathit{DP}$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{BQ}$、 $\mathit{PQ}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta APD}\cong \mathit{\Delta BQC}$；

（2）若 $\angle \mathit{ABP}+\angle \mathit{BQC}=180°$，求证：四边形 $\mathit{ABQP}$为菱形．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的中线， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{DC}$；

（2）若 $\mathit{AC}\perp \mathit{AB}$，试判断四边形 $\mathit{ADCF}$的形状，并证明你的结论．

边长为 $2\sqrt{2}$的正方形 $\mathit{ABCD}$中， $P$是对角线 $\mathit{AC}$上的一个动点（点 $P$与 $A$、 $C$不重合），连接 $\mathit{BP}$，将 $\mathit{BP}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$到 $\mathit{BQ}$，连接 $\mathit{QP}$， $\mathit{QP}$与 $\mathit{BC}$交于点 $E$， $\mathit{QP}$延长线与 $\mathit{AD}$（或 $\mathit{AD}$延长线）交于点 $F$．

（1）连接 $\mathit{CQ}$，证明： $\mathit{CQ}=\mathit{AP}$；

（2）设 $\mathit{AP}=x$， $\mathit{CE}=y$，试写出 $y$关于 $x$的函数关系式，并求当 $x$为何值时， $\mathit{CE}=\frac{3}{8}\mathit{BC}$；

（3）猜想 $\mathit{PF}$与 $\mathit{EQ}$的数量关系，并证明你的结论．

如图，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点， $E$， $F$分别是 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上的点（点 $E$不与端点 $A$， $C$重合），且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{EF}$并取 $\mathit{EF}$的中点 $O$，连接 $\mathit{DO}$并延长至点 $G$，使 $\mathit{GO}=\mathit{OD}$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{GE}$， $\mathit{GF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{EDFG}$是正方形；

（2）当点 $E$在什么位置时，四边形 $\mathit{EDFG}$的面积最小？并求四边形 $\mathit{EDFG}$面积的最小值．

（1）阅读理解：如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$， $E$是 $\mathit{BC}$的中点，若 $\mathit{AE}$是 $\angle \mathit{BAD}$的平分线，试判断 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，易证 $\mathit{\Delta AEB}\cong \mathit{\Delta FEC}$，得到 $\mathit{AB}=\mathit{FC}$，从而把 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$转化在一个三角形中即可判断．

$\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{DC}$之间的等量关系为　　；

（2）问题探究：如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{DC}$的延长线交于点 $F$， $E$是 $\mathit{BC}$的中点，若 $\mathit{AE}$是 $\angle \mathit{BAF}$的平分线，试探究 $\mathit{AB}$， $\mathit{AF}$， $\mathit{CF}$之间的等量关系，并证明你的结论．

（3）问题解决：如图③， $\mathit{AB}//\mathit{CF}$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{BC}$交于点 $E$， $\mathit{BE}:\mathit{EC}=2:3$，点 $D$在线段 $\mathit{AE}$上，且 $\angle \mathit{EDF}=\angle \mathit{BAE}$，试判断 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DF}$、 $\mathit{CF}$之间的数量关系，并证明你的结论．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，延长 $\mathit{AB}$至 $E$，延长 $\mathit{CD}$至 $F$， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{EF}$，与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$分别相交于 $P$、 $Q$两点．

（1）求证： $\mathit{CP}=\mathit{AQ}$；

（2）若 $\mathit{BP}=1$， $\mathit{PQ}=2\sqrt{2}$， $\angle \mathit{AEF}=45°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，延长 $\mathit{AB}$至 $E$，延长 $\mathit{CD}$至 $F$， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{EF}$，与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$分别相交于 $P$、 $Q$两点．

（1）求证： $\mathit{CP}=\mathit{AQ}$；

（2）若 $\mathit{BP}=1$， $\mathit{PQ}=2\sqrt{2}$， $\angle \mathit{AEF}=45°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle C=90°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$．

（1）阅读理解：

如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，求 $\mathit{BC}$边上的中线 $\mathit{AD}$的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长 $\mathit{AD}$到点 $E$使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，再连接 $\mathit{BE}$（或将 $\mathit{\Delta ACD}$绕着点 $D$逆时针旋转 $180°$得到 $\mathit{\Delta EBD})$，把 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$， $2\mathit{AD}$集中在 $\mathit{\Delta ABE}$中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线 $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

（2）问题解决：

如图②，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是 $\mathit{BC}$边上的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$于点 $D$， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BE}+\mathit{CF}>\mathit{EF}$；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B+\angle D=180°$， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$， $\angle \mathit{BCD}=140°$，以 $C$为顶点作一个 $70°$角，角的两边分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$于 $E$、 $F$两点，连接 $\mathit{EF}$，探索线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{EF}$之间的数量关系，并加以证明．

如图，点 $E$正方形 $\mathit{ABCD}$外一点，点 $F$是线段 $\mathit{AE}$上一点， $\mathit{\Delta EBF}$是等腰直角三角形，其中 $\angle \mathit{EBF}=90°$，连接 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta CBE}$；

（2）判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状，并说明理由．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕 $A$点沿顺时针方向旋转得到 $\mathit{\Delta ADE}$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEC}\cong \mathit{\Delta ADB}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2$， $\angle \mathit{BAC}=45°$，当四边形 $\mathit{ADFC}$是菱形时，求 $\mathit{BF}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=2\mathit{AB}=4$，点 $E$、 $F$分别是 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$；

（2）当四边形 $\mathit{AECF}$为菱形时，求出该菱形的面积．

已知： $\mathit{\Delta AOB}$和 $\mathit{\Delta COD}$均为等腰直角三角形， $\angle \mathit{AOB}=\angle \mathit{COD}=90°$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$，点 $H$为 $\mathit{BC}$中点，连接 $\mathit{OH}$．

（1）如图1所示，易证： $\mathit{OH}=\frac{1}{2}\mathit{AD}$且 $\mathit{OH}\perp \mathit{AD}$

（2）将 $\mathit{\Delta COD}$绕点 $O$旋转到图2，图3所示位置时，线段 $\mathit{OH}$与 $\mathit{AD}$又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．

已知线段 $\mathit{AB}\perp$直线 $l$于点 $B$，点 $D$在直线 $l$上，分别以 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$为边作等边三角形 $\mathit{ABC}$和等边三角形 $\mathit{ADE}$，直线 $\mathit{CE}$交直线 $l$于点 $F$．

（1）当点 $F$在线段 $\mathit{BD}$上时，如图①，求证： $\mathit{DF}=\mathit{CE}-\mathit{CF}$；

（2）当点 $F$在线段 $\mathit{BD}$的延长线上时，如图②；当点 $F$在线段 $\mathit{DB}$的延长线上时，如图③，请分别写出线段 $\mathit{DF}$、 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CF}$之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；

（3）在（1）、（2）的条件下，若 $\mathit{BD}=2\mathit{BF}$， $\mathit{EF}=6$，则 $\mathit{CF}=$　　．

如图，在 $\odot O$中， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CB}}$， $\mathit{CD}\perp \mathit{OA}$于 $D$， $\mathit{CE}\perp \mathit{OB}$于 $E$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BE}$．