初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $O$， $D$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{OD}$，作 $\odot O$与 $\mathit{AC}$相切于点 $E$，在 $\mathit{AC}$边上取一点 $F$，使 $\mathit{DF}=\mathit{DO}$，连接 $\mathit{DF}$．

（1）判断直线 $\mathit{DF}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）当 $\angle A=30°$， $\mathit{CF}=\sqrt{2}$时，求 $\odot O$的半径．

如图1， $\angle \mathit{PAQ}=90°$，分别在 $\angle \mathit{PAQ}$的两边 $\mathit{AP}$， $\mathit{AQ}$上取点 $B$， $E$，使 $\mathit{AB}=\mathit{AE}$，点 $D$在 $\angle \mathit{PAQ}$的平分线 $\mathit{AM}$上， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，点 $F$在线段 $\mathit{AB}$上（不与点 $A$重合），以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$为邻边作 $▱\mathit{ABCD}$，连接 $\mathit{CF}$， $\mathit{EF}$．

（1）猜想 $\mathit{CF}$与 $\mathit{EF}$之间的关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$交 $\mathit{AM}$于点 $H$．

①求证： $\mathit{AD}+2\mathit{DH}=\sqrt{2}\mathit{AB}$．

②若 $\mathit{AB}=9$， $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{AH}}=\frac{2}{7}$，求线段 $\mathit{BC}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABM}$和 $\text{Rt}\Delta \text{ADN}$的斜边分别为正方形的边 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AD}$，其中 $\mathit{AM}=\mathit{AN}$．

（1）求证： $\text{Rt}\Delta \text{ABM}\cong \text{Rt}\Delta \text{AND}$；

（2）线段 $\mathit{MN}$与线段 $\mathit{AD}$相交于 $T$，若 $\mathit{AT}=\frac{1}{4}\mathit{AD}$，求 $\tan \angle \mathit{ABM}$的值．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AE}=\mathit{AD}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}=\mathit{AB}$；

（2）若 $\angle \mathit{FDC}=30°$，且 $\mathit{AB}=4$，求 $\mathit{AD}$．

已知在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{CD}$为 $\angle \mathit{ACB}$的平分线，将 $\angle \mathit{ACB}$沿 $\mathit{CD}$所在的直线对折，使点 $B$落在点 $B\text{'}$处，连接 $A{B}^{\text{'}}$， $B{B}^{\text{'}}$，延长 $\mathit{CD}$交 $B{B}^{\text{'}}$于点 $E$，设 $\angle \mathit{ABC}=2\alpha (0°<\alpha <45°)$．

（1）如图1，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，求证： $\mathit{CD}=2\mathit{BE}$；

（2）如图2，若 $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$，试求 $\mathit{CD}$与 $\mathit{BE}$的数量关系（用含 $\alpha$的式子表示）；

（3）如图3，将（2）中的线段 $\mathit{BC}$绕点 $C$逆时针旋转角 $(\alpha +45°)$，得到线段 $\mathit{FC}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于点 $O$，设 $\mathit{\Delta COE}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta COF}$的面积为 $S_2$，求 $\frac{S_1}{S_2}$（用含 $\alpha$的式子表示）．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，以点 $E$为直角顶点的直角三角形 $\mathit{EFG}$的两边 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别过点 $B$， $C$， $\angle F=30°$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）将 $\mathit{\Delta EFG}$绕点 $E$按顺时针方向旋转，当旋转到 $\mathit{EF}$与 $\mathit{AD}$重合时停止转动，若 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$相交于点 $M$， $N$（如图 $2)$．

①求证： $\mathit{\Delta BEM}\cong \mathit{\Delta CEN}$；

②若 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{\Delta BMN}$面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$恰好在 $\mathit{FG}$上（如图 $3)$，求 $\sin \angle \mathit{EBG}$的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta BCE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=4$，求 $\mathit{\Delta CDE}$的周长．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AF}=\mathit{BE}$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DAF}\cong \mathit{\Delta ABE}$；

（2）求 $\angle \mathit{AOD}$的度数．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，且 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，过 $O$点作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AOE}\cong \mathit{\Delta COF}$；

（2）判断四边形 $\mathit{BEDF}$的形状，并说明理由．

已知：如图，点 $A$， $F$， $E$， $C$在同一直线上， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$， $\mathit{AB}=\mathit{CD}$， $\angle B=\angle D$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$；

（2）若点 $E$， $G$分别为线段 $\mathit{FC}$， $\mathit{FD}$的中点，连接 $\mathit{EG}$，且 $\mathit{EG}=5$，求 $\mathit{AB}$的长．

如图，已知线段 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $E$， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$， $\mathit{BE}=\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DCE}$；

（2）当 $\mathit{AB}=5$时，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，已知 $\odot O$是等边三角形 $\mathit{ABC}$的外接圆，点 $D$在圆上，在 $\mathit{CD}$的延长线上有一点 $F$，使 $\mathit{DF}=\mathit{DA}$， $\mathit{AE}//\mathit{BC}$交 $\mathit{CF}$于 $E$．

（1）求证： $\mathit{EA}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CF}$．

如图示，正方形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$在等腰直角三角形 $\mathit{DEF}$的斜边 $\mathit{EF}$上， $\mathit{EF}$与 $\mathit{BC}$相交于点 $G$，连接 $\mathit{CF}$．

①求证： $\mathit{\Delta DAE}\cong \mathit{\Delta DCF}$；

②求证： $\mathit{\Delta ABG}\backsim \mathit{\Delta CFG}$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，边 $\mathit{AB}$的垂直平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AGE}\cong \mathit{\Delta BGF}$；

（2）试判断四边形 $\mathit{AFBE}$的形状，并说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为平行四边形， $F$是 $\mathit{CD}$的中点，连接 $\mathit{AF}$并延长与 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $E$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{CE}$．