初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{OF}$是 $\angle \mathit{MON}$的平分线，点 $A$在射线 $\mathit{OM}$上， $P$， $Q$是直线 $\mathit{ON}$上的两动点，点 $Q$在点 $P$的右侧，且 $\mathit{PQ}=\mathit{OA}$，作线段 $\mathit{OQ}$的垂直平分线，分别交直线 $\mathit{OF}$、 $\mathit{ON}$于点 $B$、点 $C$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{PB}$．

（1）如图1，当 $P$、 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$上时，请直接写出线段 $\mathit{AB}$与 $\mathit{PB}$的数量关系；

（2）如图2，当 $P$、 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$的反向延长线上时，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{PB}$是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；

（3）如图3， $\angle \mathit{MON}=60°$，连接 $\mathit{AP}$，设 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{OQ}}=k$，当 $P$和 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$上移动时， $k$是否存在最小值？若存在，请直接写出 $k$的最小值；若不存在，请说明理由．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$按如图所示方式放置，点 $D$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$和 $\mathit{CE}$，且 $\angle \mathit{DCE}=90°$．

（1）如图①，当 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$均为等边三角形时，试确定 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系，并说明理由；

（2）如图②，当 $\mathit{BA}=\mathit{BC}=2\mathit{AC}$， $\mathit{DA}=\mathit{DE}=2\mathit{AE}$时，试确定 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系，并说明理由；

（3）如图③，当 $\mathit{AB}:\mathit{BC}:\mathit{AC}=\mathit{AD}:\mathit{DE}:\mathit{AE}=m:n:p$时，请直接写出 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{OC}=\mathit{OA}+\mathit{AB}$， $\mathit{AD}=m$， $\mathit{BC}=n$， $\angle \mathit{ABD}+\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{ACB}$．

（1）填空： $\angle \mathit{BAD}$与 $\angle \mathit{ACB}$的数量关系为　 $\angle \mathit{BAD}+\angle \mathit{ACB}=180°$　；

（2）求 $\frac{m}{n}$的值；

（3）将 $\mathit{\Delta ACD}$沿 $\mathit{CD}$翻折，得到△ $A\text{'}\mathit{CD}$（如图 $2)$，连接 $\mathit{BA}\text{'}$，与 $\mathit{CD}$相交于点 $P$．若 $\mathit{CD}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求 $\mathit{PC}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$，垂足 $E$在 $\mathit{CA}$的延长线上， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上，求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，点 $E$是 $\mathit{BC}$延长线上一点，且 $\mathit{AD}=\mathit{CE}$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）猜想证明：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，学生们发现： $\mathit{DF}=\mathit{EF}$．下面是两位学生的证明思路：

思路1：过点 $D$作 $\mathit{DG}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $G$，可证 $\mathit{\Delta DFG}\cong \mathit{\Delta EFC}$得出结论；

思路2：过点 $E$作 $\mathit{EH}//\mathit{AB}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $H$，可证 $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta HEF}$得出结论；

$\dots$

请你参考上面的思路，证明 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$（只用一种方法证明即可）．

（2）类比探究：在（1）的条件下（如图 $1)$，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{AC}$于点 $M$，试探究线段 $\mathit{AM}$， $\mathit{MF}$， $\mathit{FC}$之间满足的数量关系，并证明你的结论．

（3）延伸拓展：如图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{BAC}$， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=m$，请你用尺规作图在图2中作出 $\mathit{AD}$的垂直平分线交 $\mathit{AC}$于点 $N$（不写作法，只保留作图痕迹），并用含 $m$的代数式直接表示 $\frac{\mathit{NF}}{\mathit{AC}}$的值．

$\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ABC}=\alpha$，过点 $A$作直线 $\mathit{MN}$，使 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$，点 $D$在直线 $\mathit{MN}$上，作射线 $\mathit{BD}$，将射线 $\mathit{BD}$绕点 $B$顺时针旋转角 $\alpha$后交直线 $\mathit{AC}$于点 $E$．

（1）如图①，当 $\alpha =60°$，且点 $D$在射线 $\mathit{AN}$上时，直接写出线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{AE}$的数量关系．

（2）如图②，当 $\alpha =45°$，且点 $D$在射线 $\mathit{AN}$上时，直写出线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AE}$的数量关系，并说明理由．

（3）当 $\alpha =30°$时，若点 $D$在射线 $\mathit{AM}$上， $\angle \mathit{ABE}=15°$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}-1$，请直接写出线段 $\mathit{AE}$的长度．

如图，一次函数 $y=\frac{3}{4}x+6$的图象交 $x$轴于点 $A$、交 $y$轴于点 $B$， $\angle \mathit{ABO}$的平分线交 $x$轴于点 $C$，过点 $C$作直线 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$，交 $y$轴于点 $E$．

（1）求直线 $\mathit{CE}$的解析式；

（2）在线段 $\mathit{AB}$上有一动点 $P$（不与点 $A$， $B$重合），过点 $P$分别作 $\mathit{PM}\perp x$轴， $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为点 $M$、 $N$，是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{MN}$的长最小？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $M$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MC}$，点 $P$是线段 $\mathit{BC}$延长线上一点，且 $\mathit{PC}<\mathit{BC}$，连接 $\mathit{MP}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$．将射线 $\mathit{MP}$绕点 $M$逆时针旋转 $60°$交线段 $\mathit{CA}$的延长线于点 $D$．

（1）找出与 $\angle \mathit{AMP}$相等的角，并说明理由．

（2）如图2， $\mathit{CP}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{MD}=\frac{\sqrt{13}}{3}$，求线段 $\mathit{AB}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$垂直平分 $\mathit{AB}$，交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$（点 $E$与点 $C$不重合），点 $F$为 $\mathit{AC}$上一点，点 $G$为 $\mathit{AB}$上一点（点 $G$与点 $A$不重合），且 $\angle \mathit{GEF}+\angle \mathit{BAC}=180°$．

（1）如图1，当 $\angle B=45°$时，线段 $\mathit{AG}$和 $\mathit{CF}$的数量关系是　　．

（2）如图2，当 $\angle B=30°$时，猜想线段 $\mathit{AG}$和 $\mathit{CF}$的数量关系，并加以证明．

（3）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DG}=1$， $\cos B=\frac{3}{4}$，请直接写出 $\mathit{CF}$的长．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AB}$ 上的点， $\mathit{EF}\perp \mathit{EC}$ ，且 $\mathit{AE}=\mathit{CD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{DE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=\frac{2}{5}\mathit{AD}$ ，求 $\tan \angle \mathit{AFE}$ ．

已知点 $E$ 为正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AD}$ 上一点，连接 $\mathit{BE}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CN}\perp \mathit{BE}$ ，垂足为 $M$ ，交 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta BCN}$ ；

（2）若 $N$ 为 $\mathit{AB}$ 的中点，求 $\tan \angle \mathit{ABE}$ ．

如图，点 $E$ 、 $F$ 分别是矩形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CD}$ 上的一点，且 $\mathit{DF}=\mathit{BE}$ ．求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$ ．

如图， $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{EF}$ 过点 $O$ 且与 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 分别相交于点 $E$ ， $F$ ．求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$ ．

如图， $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{EF}$ 过点 $O$ 且与 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 分别相交于点 $E$ ， $F$ ．求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$ ．

如图1，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6\sqrt{5}$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，点 $E$从点 $D$出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线 $\mathit{DA}$的方向匀速运动，设运动时间为 $t$（秒 $)$，将线段 $\mathit{CE}$绕点 $C$顺时针旋转一个角 $\alpha (\alpha =\angle \mathit{BCD})$，得到对应线段 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{DF}$；

（2）当 $t=$　       　秒时， $\mathit{DF}$的长度有最小值，最小值等于　          　；

（3）如图2，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{BD}$交 $\mathit{EC}$、 $\mathit{EF}$于点 $P$、 $Q$，当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta EPQ}$是直角三角形？

（4）如图3，将线段 $\mathit{CD}$绕点 $C$顺时针旋转一个角 $\alpha (\alpha =\angle \mathit{BCD})$，得到对应线段 $\mathit{CG}$．在点 $E$的运动过程中，当它的对应点 $F$位于直线 $\mathit{AD}$上方时，直接写出点 $F$到直线 $\mathit{AD}$的距离 $y$关于时间 $t$的函数表达式．