初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{DC}$ 边的中点，连接 $\mathit{AE}$ ，若 $\mathit{AE}$ 的延长线和 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}=\mathit{CF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AC}$ 和 $\mathit{BE}$ 相交于点为 $G$ ，若 $\mathit{\Delta GEC}$ 的面积为2，求平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积．

在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 $\mathit{ABC}$和 $\mathit{DEF}$拼在一起，使点 $A$与点 $F$重合，点 $C$与点 $D$重合（如图 $1)$，其中 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DFE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{EF}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=\mathit{DF}=4\mathit{cm}$，并进行如下研究活动．

活动一：将图1中的纸片 $\mathit{DEF}$沿 $\mathit{AC}$方向平移，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{BD}$（如图 $2)$，当点 $F$与点 $C$重合时停止平移．

[思考]图2中的四边形 $\mathit{ABDE}$是平行四边形吗？请说明理由．

[发现]当纸片 $\mathit{DEF}$平移到某一位置时，小兵发现四边形 $\mathit{ABDE}$为矩形（如图 $3)$．求 $\mathit{AF}$的长．

活动二：在图3中，取 $\mathit{AD}$的中点 $O$，再将纸片 $\mathit{DEF}$绕点 $O$顺时针方向旋转 $\alpha$度 $(0⩽\alpha ⩽90)$，连结 $\mathit{OB}$， $\mathit{OE}$（如图 $4)$．

[探究]当 $\mathit{EF}$平分 $\angle \mathit{AEO}$时，探究 $\mathit{OF}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，并说明理由．

如图，点 $D$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle B=\angle C$ ，求证： $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $C$， $D$是半圆 $O$上不同于 $A$， $B$的两点， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $F$． $\mathit{BE}$是半圆 $O$所在圆的切线，与 $\mathit{AC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta CBA}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$，求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在边 $\mathit{BC}$ 上，点 $F$ 在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，且 $\mathit{BE}=\mathit{CF}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DCF}$ ；

（2）四边形 $\mathit{AEFD}$ 是平行四边形．

如图， $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $B$， $\mathit{AO}$交 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{AO}$的延长线交 $\odot O$于点 $D$， $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BCD}}$上不与 $B$， $D$重合的点， $\sin A=\frac{1}{2}$．

（1）求 $\angle \mathit{BED}$的大小；

（2）若 $\odot O$的半径为3，点 $F$在 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\mathit{BF}=3\sqrt{3}$，求证： $\mathit{DF}$与 $\odot O$相切．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 中， $\angle \mathit{ABO}=90°$ ， $\angle \mathit{OAB}=30°$ ，以点 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 为半径的圆交 $\mathit{BO}$ 的延长线于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{OA}$ 的平行线，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{AD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 为 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{OB}=2$ ，求弧 $\mathit{CD}$ 的长．

四边形 $\mathit{ABCD}$是边长为2的正方形， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，连结 $\mathit{DE}$，点 $F$是射线 $\mathit{BC}$上一动点（不与点 $B$重合），连结 $\mathit{AF}$，交 $\mathit{DE}$于点 $G$．

（1）如图1，当点 $F$是 $\mathit{BC}$边的中点时，求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta DAE}$；

（2）如图2，当点 $F$与点 $C$重合时，求 $\mathit{AG}$的长；

（3）在点 $F$运动的过程中，当线段 $\mathit{BF}$为何值时， $\mathit{AG}=\mathit{AE}$？请说明理由．

如图，在圆 $O$ 中，弦 $\mathit{AB}$ 等于弦 $\mathit{CD}$ ，且相交于点 $P$ ，其中 $E$ 、 $F$ 为 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CD}$ 中点．

（1）证明： $\mathit{OP}\perp \mathit{EF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{CE}$ ，若 $\mathit{AF}//\mathit{OP}$ ，证明：四边形 $\mathit{AFEC}$ 为矩形．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 上的两点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ．连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{DF}$ ， $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BF}$ ．

（1）证明： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CBF}$ ．

（2）若 $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$ ， $\mathit{AE}=2$ ，求四边形 $\mathit{BEDF}$ 的周长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta OAD}$为等腰直角三角形，延长 $\mathit{OA}$至点 $B$使 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{ABCD}$是矩形，其对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OAF}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$的值．

如图， $\mathit{BD}//\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}=\mathit{BC}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{BE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\angle D=\angle \mathit{ABC}$ ．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，点 $E$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $F$ 在同一直线上， $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CBF}$ ；

（2） $\mathit{ED}//\mathit{BF}$ ．