初中数学二次函数的性质解答题

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图，抛物线y＝ax²+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S_△ABE＝S_△ABC时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y=2(x-1)(x-m-3)(m$为常数）．

（1）求证：不论 $m$为何值，该函数的图象与 $x$轴总有公共点；

（2）当 $m$取什么值时，该函数的图象与 $y$轴的交点在 $x$轴的上方？

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）直接写出二次函数的解析式 　 　；

（2）平移直线 $\mathit{BC}$ ，当直线 $\mathit{BC}$ 与抛物线有唯一公共点 $Q$ 时，求此时点 $Q$ 的坐标；

（3）过（2）中的点 $Q$ 作 $\mathit{QE}//y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $E$ ．若点 $M$ 是抛物线上一个动点，点 $N$ 是 $x$ 轴上一个动点，是否存在以 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点为顶点的直角三角形（其中 $M$ 为直角顶点）与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点 $M$ 的个数和其中一个符合条件的点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，连接 $\mathit{BD}$，点 $H$为 $\mathit{BD}$的中点．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）在 $y$轴上找一点 $P$，使 $\mathit{PD}+\mathit{PH}$的值最小，则 $\mathit{PD}+\mathit{PH}$的最小值为　　．

（注：抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}$ 的图象与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 与该抛物线交于 $B$ 、 $C$ 两点（点 $B$ 位于点 $C$ 左侧），与抛物线对称轴交于点 $D(2,-3)$ ．

（1）求 $b$ 的值；

（2）设 $P$ 、 $Q$ 是 $x$ 轴上的点（点 $P$ 位于点 $Q$ 左侧），四边形 $\mathit{PBCQ}$ 为平行四边形．过点 $P$ 、 $Q$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与抛物线交于点 $P^{\text{'}}(x_1$ ， $y_1)$ 、 $Q^{\text{'}}(x_2$ ， $y_2)$ ．若 $|y_1-y_2|=2$ ，求 $x_1$ 、 $x_2$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{(x-m)}^2+4$图象的顶点为 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，异于顶点 $A$的点 $C(1,n)$在该函数图象上．

（1）当 $m=5$时，求 $n$的值．

（2）当 $n=2$时，若点 $A$在第一象限内，结合图象，求当 $y⩾2$时，自变量 $x$的取值范围．

（3）作直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴相交于点 $D$．当点 $B$在 $x$轴上方，且在线段 $\mathit{OD}$上时，求 $m$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．

（1）　　，点的坐标为　　；

（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，求面积的最大值．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若 $P$是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点， $\mathit{PH}\perp x$轴于点 $H$，与线段 $\mathit{BC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{PC}$．

①求线段 $\mathit{PM}$的最大值；

②当 $\mathit{\Delta PCM}$是以 $\mathit{PM}$为一腰的等腰三角形时，求点 $P$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

如图，已知经过原点的抛物线 $y=2x^2+\mathit{mx}$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A(2,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和抛物线顶点 $M$ 的坐标；

（2）求直线 $\mathit{AM}$ 的解析式．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3+2a^2(a\ne 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P(m,y_1)$ ， $Q(3,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1<y_2$ ，求 $m$ 的取值范围．

如图，抛物线 $y=-x^2+2x+c$与 $x$轴正半轴， $y$轴正半轴分别交于点 $A$， $B$，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$，点 $G$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$的坐标；

（2）点 $M$， $N$为抛物线上两点（点 $M$在点 $N$的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点 $Q$为抛物线上点 $M$， $N$之间（含点 $M$， $N)$的一个动点，求点 $Q$的纵坐标 $y_Q$的取值范围．

定义：如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $P$在该抛物线上 $(P$点与 $A$、 $B$两点不重合），如果 $\mathit{\Delta ABP}$的三边满足 $A{P}^2+B{P}^2=A{B}^2$，则称点 $P$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的勾股点．

（1）直接写出抛物线 $y=-x^2+1$的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $P(1,\sqrt{3})$是抛物线 $C$的勾股点，求抛物线 $C$的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$在抛物线 $C$上，求满足条件 $S_{\mathit{\Delta ABQ}}=S_{\mathit{\Delta ABP}}$的 $Q$点（异于点 $P)$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$经过 $A(-1,0)$， $B(1,1)$两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=k_{1}x+b_1(k_1$， $b_1$为常数，且 $k_1\ne 0)$，直线 $l_2:y=k_{2}x+b_2(k_2$， $b_2$为常数，且 $k_2\ne 0)$，若 $l_1\perp l_2$，则 $k_1·k_2=-1$．

解决问题：

①若直线 $y=3x-1$与直线 $y=\mathit{mx}+2$互相垂直，求 $m$的值；

②抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAB}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$是抛物线上一动点，且在直线 $\mathit{AB}$的上方（不与 $A$， $B$重合），求点 $M$到直线 $\mathit{AB}$的距离的最大值．