初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $\mathit{AB}$相交于 $A$， $B$两点，其中 $A(-3,-4)$， $B(0,-1)$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{AB}$下方抛物线上的任意一点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，求 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0)$，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 $C$，点 $D$为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $E$，使以点 $B$， $C$， $D$， $E$为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线的对称轴是 $y$轴，且点 $(2,2)$， $(1,\frac{5}{4})$在抛物线上，点 $P$是抛物线上不与顶点 $N$重合的一动点，过 $P$作 $\mathit{PA}\perp x$轴于 $A$， $\mathit{PC}\perp y$轴于 $C$，延长 $\mathit{PC}$交抛物线于 $E$，设 $M$是 $O$关于抛物线顶点 $N$的对称点， $D$是 $C$点关于 $N$的对称点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $N$的坐标；

（2）求证：四边形 $\mathit{PMDA}$是平行四边形；

（3）求证： $\mathit{\Delta DPE}\backsim \mathit{\Delta PAM}$，并求出当它们的相似比为 $\sqrt{3}$时的点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=x^2-\mathit{mx}-3(m>0)$交 $y$轴于点 $C$， $\mathit{CA}\perp y$轴，交抛物线于点 $A$，点 $B$在抛物线上，且在第一象限内， $\mathit{BE}\perp y$轴，交 $y$轴于点 $E$，交 $\mathit{AO}$的延长线于点 $D$， $\mathit{BE}=2\mathit{AC}$．

（1）用含 $m$的代数式表示 $\mathit{BE}$的长．

（2）当 $m=\sqrt{3}$时，判断点 $D$是否落在抛物线上，并说明理由．

（3）若 $\mathit{AG}//y$轴，交 $\mathit{OB}$于点 $F$，交 $\mathit{BD}$于点 $G$．

①若 $\mathit{\Delta DOE}$与 $\mathit{\Delta BGF}$的面积相等，求 $m$的值．

②连接 $\mathit{AE}$，交 $\mathit{OB}$于点 $M$，若 $\mathit{\Delta AMF}$与 $\mathit{\Delta BGF}$的面积相等，则 $m$的值是　　．

已知二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $y$轴交于点 $C(0,-6)$，与 $x$轴的一个交点坐标是 $A(-2,0)$．

（1）求二次函数的解析式，并写出顶点 $D$的坐标；

（2）将二次函数的图象沿 $x$轴向左平移 $\frac{5}{2}$个单位长度，当 $y<0$时，求 $x$的取值范围．

我们把方程 ${(x-m)}^2+{(y-n)}^2=r^2$ 称为圆心为 $(m,n)$ 、半径长为 $r$ 的圆的标准方程．例如，圆心为 $(1,-2)$ 、半径长为3的圆的标准方程是 ${(x-1)}^2+{(y+2)}^2=9$ ．在平面直角坐标系中， $\odot C$ 与轴交于点 $A$ ， $B$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(8,0)$ ，与 $y$ 轴相切于点 $D(0,4)$ ，过点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的抛物线的顶点为 $E$ ．

（1）求 $\odot C$ 的标准方程；

（2）试判断直线 $\mathit{AE}$ 与 $\odot C$ 的位置关系，并说明理由．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$， $B$两点，交 $y$轴于点 $C$，对称轴是直线 $x=-3$， $B(-1,0)$， $F(0,1)$，请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）直接写出抛物线顶点 $E$的坐标，并判断 $\mathit{AC}$与 $\mathit{EF}$的位置关系，不需要说明理由．

注：抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{mx}+3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$的坐标为 $(3,0)$

（1）求 $m$的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点 $P$是抛物线对称轴 $l$上的一个动点，当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小时，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴的正半轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．

（1）写出 $C$， $D$两点的坐标（用含 $a$的式子表示）；

（2）设 $S_{\mathit{\Delta BCD}}:S_{\mathit{\Delta ABD}}=k$，求 $k$的值；

（3）当 $\mathit{\Delta BCD}$是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $(3,12)$和 $(-2,-3)$，与两坐标轴的交点分别为 $A$， $B$， $C$，它的对称轴为直线 $l$．

（1）求该抛物线的表达式；

（2） $P$是该抛物线上的点，过点 $P$作 $l$的垂线，垂足为 $D$， $E$是 $l$上的点．要使以 $P$、 $D$、 $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$全等，求满足条件的点 $P$，点 $E$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

如图，已知经过原点的抛物线 $y=2x^2+\mathit{mx}$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A(2,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和抛物线顶点 $M$ 的坐标；

（2）求直线 $\mathit{AM}$ 的解析式．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3+2a^2(a\ne 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P(m,y_1)$ ， $Q(3,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1<y_2$ ，求 $m$ 的取值范围．

如图，抛物线 $y=-x^2+2x+c$与 $x$轴正半轴， $y$轴正半轴分别交于点 $A$， $B$，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$，点 $G$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$的坐标；

（2）点 $M$， $N$为抛物线上两点（点 $M$在点 $N$的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点 $Q$为抛物线上点 $M$， $N$之间（含点 $M$， $N)$的一个动点，求点 $Q$的纵坐标 $y_Q$的取值范围．

定义：如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $P$在该抛物线上 $(P$点与 $A$、 $B$两点不重合），如果 $\mathit{\Delta ABP}$的三边满足 $A{P}^2+B{P}^2=A{B}^2$，则称点 $P$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的勾股点．

（1）直接写出抛物线 $y=-x^2+1$的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $P(1,\sqrt{3})$是抛物线 $C$的勾股点，求抛物线 $C$的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$在抛物线 $C$上，求满足条件 $S_{\mathit{\Delta ABQ}}=S_{\mathit{\Delta ABP}}$的 $Q$点（异于点 $P)$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$经过 $A(-1,0)$， $B(1,1)$两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=k_{1}x+b_1(k_1$， $b_1$为常数，且 $k_1\ne 0)$，直线 $l_2:y=k_{2}x+b_2(k_2$， $b_2$为常数，且 $k_2\ne 0)$，若 $l_1\perp l_2$，则 $k_1·k_2=-1$．

解决问题：

①若直线 $y=3x-1$与直线 $y=\mathit{mx}+2$互相垂直，求 $m$的值；

②抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAB}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$是抛物线上一动点，且在直线 $\mathit{AB}$的上方（不与 $A$， $B$重合），求点 $M$到直线 $\mathit{AB}$的距离的最大值．