初中数学二次函数的性质计算题

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(8,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $C$是抛物线与 $y$轴的交点，连接 $\mathit{BC}$，设点 $P$是抛物线上在第一象限内的点， $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $D$．

①是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{PD}$的长度最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

②当 $\mathit{\Delta PDC}$与 $\mathit{\Delta COA}$相似时，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其对称轴交抛物线于点 $D$，交 $x$轴于点 $E$，已知 $\mathit{OB}=\mathit{OC}=6$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$， $F$为抛物线上一动点，当 $\angle \mathit{FAB}=\angle \mathit{EDB}$时，求点 $F$的坐标；

（3）平行于 $x$轴的直线交抛物线于 $M$、 $N$两点，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作菱形 $\mathit{MPNQ}$，当点 $P$在 $x$轴上，且 $\mathit{PQ}=\frac{1}{2}\mathit{MN}$时，求菱形对角线 $\mathit{MN}$的长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与直线 $y=x+1$相交于 $A(-1,0)$， $B(4,m)$两点，且抛物线经过点 $C(5,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是抛物线上的一个动点（不与点 $A$、点 $B$重合），过点 $P$作直线 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

①当 $\mathit{PE}=2\mathit{ED}$时，求 $P$点坐标；

②是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta BEC}$为等腰三角形？若存在请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$ 的抛物线经过 $B(2,0)$ 、 $C(0,4)$ 两点，抛物线与 $x$ 轴的另一交点为 $A$

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 $\mathit{COBP}$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

（3）如图2，若 $M$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一动点，在 $x$ 轴是否存在这样的点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta MQC}$ 为等腰三角形且 $\mathit{\Delta MQB}$ 为直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-x^2+2x+n$经过点 $M(-1,0)$，顶点为 $C$．

（1）求点 $C$的坐标；

（2）设直线 $y=2x$与抛物线交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧）．

①在抛物线的对称轴上是否存在点 $G$．使 $\angle \mathit{AGC}=\angle \mathit{BGC}$？若存在，求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由；

②点 $P$在直线 $y=2x$上，点 $Q$在抛物线上，当以 $O$， $M$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $Q$的坐标．

已知点 $A(-1,1)$、 $B(4,6)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$的坐标为 $(0$， $m\left)\right(m>2)$，直线 $\mathit{AF}$交抛物线于另一点 $G$，过点 $G$作 $x$轴的垂线，垂足为 $H$．设抛物线与 $x$轴的正半轴交于点 $E$，连接 $\mathit{FH}$、 $\mathit{AE}$，求证： $\mathit{FH}//\mathit{AE}$；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $C$、 $D$两点．点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$个单位长度；同时点 $Q$从原点 $O$出发，沿 $x$轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$是直线 $\mathit{PQ}$与抛物线的一个交点，当运动到 $t$秒时， $\mathit{QM}=2\mathit{PM}$，直接写出 $t$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与坐标轴交点分别为 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,2)$，作直线 $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$为抛物线上第一象限内一动点，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，设点 $P$的横坐标为 $t(0<t<3)$，求 $\mathit{\Delta ABP}$的面积 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）条件同（2），若 $\mathit{\Delta ODP}$与 $\mathit{\Delta COB}$相似，求点 $P$的坐标．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，其对称轴与线段 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，垂直于 $x$ 轴的动直线 $l$ 分别交抛物线和线段 $\mathit{BC}$ 于点 $P$ 和点 $F$ ，动直线 $l$ 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 $x$ 轴正方向移动到 $B$ 点．

（1）求出二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 和 $\mathit{BC}$ 所在直线的表达式；

（2）在动直线 $l$ 移动的过程中，试求使四边形 $\mathit{DEFP}$ 为平行四边形的点 $P$ 的坐标；

（3）连接 $\mathit{CP}$ ， $\mathit{CD}$ ，在动直线 $l$ 移动的过程中，抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以点 $P$ ， $C$ ， $F$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta DCE}$ 相似？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$分别在 $x$轴， $y$轴的正半轴上，且 $\mathit{OA}=4$， $\mathit{OC}=3$，若抛物线经过 $O$， $A$两点，且顶点在 $\mathit{BC}$边上，对称轴交 $\mathit{BE}$于点 $F$，点 $D$， $E$的坐标分别为 $(3,0)$， $(0,1)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）猜想 $\mathit{\Delta EDB}$的形状并加以证明；

（3）点 $M$在对称轴右侧的抛物线上，点 $N$在 $x$轴上，请问是否存在以点 $A$， $F$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点，其中点 $A(0,1)$，点 $B(-9,10)$， $\mathit{AC}//x$轴，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $P$且与 $y$轴平行的直线 $l$与直线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $E$、 $F$，当四边形 $\mathit{AECP}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$为抛物线的顶点时，在直线 $\mathit{AC}$上是否存在点 $Q$，使得以 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，若存在，求出点 $Q$的坐标，若不存在，请说明理由．

如图1，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$顶点 $A$的坐标为 $(2,6)$，点 $B$在 $y$轴上，且 $\mathit{AD}//\mathit{BC}//x$轴，过 $B$， $C$， $D$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(2,2)$，点 $F(m,6)$是线段 $\mathit{AD}$上一动点，直线 $\mathit{OF}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $S$，请求出 $S$与 $m$的函数关系式，并写出自变量 $m$的取值范围；

（3）如图2，过点 $F$作 $\mathit{FM}\perp x$轴，垂足为 $M$，交直线 $\mathit{AC}$于 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为 $N$，连接 $\mathit{MN}$，直线 $\mathit{AC}$分别交 $x$轴， $y$轴于点 $H$， $G$，试求线段 $\mathit{MN}$的最小值，并直接写出此时 $m$的值．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 交 $x$ 轴于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $F$ ，点 $D(2,3)$ 在该抛物线上．

①求四边形 $\mathit{ACFD}$ 的面积；

②点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点（点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合），过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp x$ 轴交该抛物线于点 $Q$ ，连接 $\mathit{AQ}$ 、 $\mathit{DQ}$ ，当 $\mathit{\Delta AQD}$ 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

若一次函数 $y=-3x-3$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $C$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$ ，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点 $C$ 作 $\mathit{CD}//x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，点 $E$ 在抛物线上 $(y$ 轴左侧），若 $\mathit{BC}$ 恰好平分 $\angle \mathit{DBE}$ ．求直线 $\mathit{BE}$ 的表达式；

（3）如图（2），若点 $P$ 在抛物线上（点 $P$ 在 $y$ 轴右侧），连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $S_{\mathit{\Delta BFP}}=m{S}_{\mathit{\Delta BAF}}$ ．

①当 $m=\frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

②求 $m$ 的最大值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$，其中 $2a=b>0>c$，且 $a+b+c=0$．

（1） 直接写出关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$的一个根；

（2） 证明： 抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点 $A$在第三象限；

（3） 直线 $y=x+m$与 $x$， $y$轴分别相交于 $B$， $C$两点， 与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$相交于 $A$， $D$两点 ． 设抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的对称轴与 $x$轴相交于 $E$． 如果在对称轴左侧的抛物线上存在点 $F$，使得 $\mathit{\Delta ADF}$与 $\mathit{\Delta BOC}$相似， 并且 $S_{\mathit{\Delta ADF}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ADE}}$，求此时抛物线的表达式 ．

如图①，抛物线 $y=-x^2+(a+1)x-a$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$位于点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．已知 $\mathit{\Delta ABC}$的面积是6．

（1）求 $a$的值；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆圆心的坐标；

（3）如图②， $P$是抛物线上一点， $Q$为射线 $\mathit{CA}$上一点，且 $P$、 $Q$两点均在第三象限内， $Q$、 $A$是位于直线 $\mathit{BP}$同侧的不同两点，若点 $P$到 $x$轴的距离为 $d$， $\mathit{\Delta QPB}$的面积为 $2d$，且 $\angle \mathit{PAQ}=\angle \mathit{AQB}$，求点 $Q$的坐标．