初中数学二次函数的性质试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 经过点 $(1,1)$ 和 $(4,1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a=-1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_1$ ．

①求抛物线 $C_1$ 的解析式．

②设抛物线 $C_1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_1$ 上一动点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的对称轴在 $y$ 轴右侧，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A(-2,0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OB}=2\mathit{OC}$ ，则下列结论：① $\frac{a-b}{c}>0$ ；② $2b-4\mathit{ac}=1$ ；③ $a=\frac{1}{4}$ ；④当 $-1<b<0$ 时，在 $x$ 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $N$ 左边），使得 $\mathit{AN}\perp \mathit{BM}$ ，其中正确的有 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$ ， $b$ ， $c$ 为常数）开口向下且过点 $A(1,0)$ ， $B(m$ ， $0\left)\right(-2<m<-1)$ ，下列结论：① $2b+c>0$ ；② $2a+c<0$ ；③ $a(m+1)-b+c>0$ ；④若方程 $a(x-m)(x-1)-1=0$ 有两个不相等的实数根，则 $4\mathit{ac}-b^2<4a$ ．其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

4

B．

3

C．

2

D．

1

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数，且 $a\ne 0)$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表：

$x$	$\dots$	$-1$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$m$	2	2	$n$	$\dots$

且当 $x=\frac{3}{2}$ 时，对应的函数值 $y<0$ ．有以下结论：

① $\mathit{abc}>0$ ；② $m+n<-\frac{20}{3}$ ；③关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$ 的负实数根在 $-\frac{1}{2}$ 和0之间；④ $P_1(t-1,y_1)$ 和 $P_2(t+1,y_2)$ 在该二次函数的图象上，则当实数 $t>\frac{1}{3}$ 时， $y_1>y_2$ ．

其中正确的结论是 $($ 　　 $)$

A．

①②

B．

②③

C．

③④

D．

②③④

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{mx}$与直线 $y=-x+b$相交于点 $A(2,0)$和点 $B$．

（1）求 $m$和 $b$的值；

（2）求点 $B$的坐标，并结合图象写出不等式 $x^2+\mathit{mx}>-x+b$的解集；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{AB}$上的一个动点，将点 $M$向左平移3个单位长度得到点 $N$，若线段 $\mathit{MN}$与抛物线只有一个公共点，直接写出点 $M$的横坐标 $x_M$的取值范围．

甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $\mathit{OBA}$可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $\mathit{OA}=8m$，桥拱顶点 $B$到水面的距离是 $4m$．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2m$的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$点 $0.4m$时，桥下水位刚好在 $\mathit{OA}$处，有一名身高 $1.68m$的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，该抛物线在 $x$轴下方部分与桥拱 $\mathit{OBA}$在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m(m>0)$个单位长度，平移后的函数图象在 $8⩽x⩽9$时， $y$的值随 $x$值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$的取值范围．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $A(-3,0)$， $B$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,2)$，对称轴是直线 $x=-1$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若过点 $B$的直线 $l$与抛物线相交于另一点 $D$，当 $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{BAC}$时，求直线 $l$的表达式；

（3）在（2）的条件下，当点 $D$在 $x$轴下方时，连接 $\mathit{AD}$，此时在 $y$轴左侧的抛物线上存在点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta BDP}}=\frac{3}{2}{S}_{\mathit{\Delta ABD}}$．请直接出所有符合条件的点 $P$的坐标．

设 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 、 $B$ 为抛物线 $y=x^2$ 上的两个动点，且 $\mathit{OA}\perp \mathit{OB}$ ．连接点 $A$ 、 $B$ ，过 $O$ 作 $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$ 于点 $C$ ，则点 $C$ 到 $y$ 轴距离的最大值 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D．

1

如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+4（a\ne 0）$与y轴交于点A，与x轴交于点 $C\mathit{（﹣}2，0）$，且经过点B（8，4），连接AB，BO，作 $\mathit{AM}\perp \mathit{OB}$于点M，将 $\mathit{Rt}△\mathit{OMA}$沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：

（1）抛物线的解析式为　            ，顶点坐标为　           ；

（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中 $\mathit{Rt}△\mathit{OMA}$沿着OB平移后，得到 $\mathit{Rt}△\mathit{DEF}$．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形 $\mathit{AMEF}$的面积．

如图，二次函数 $y＝\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过点 $A（4\mathit{，﹣}4）$， $B\mathit{（﹣}2，m）$，交y轴于点 $C（0\mathit{，﹣}4）$．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接 $\mathit{AB}，\mathit{AD}$，点E是线段AB上的一动点，过点E作 $\mathit{EF}\parallel \mathit{BD}$交AD于点F．

（1）求二次函数 $y＝\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的表达式；

（2）判断 $△\mathit{AB}D$的形状，并说明理由；

（3）在点E的运动过程中，直线 $\mathit{BD}$上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时 $\mathit{AG}与\mathit{BD}$的数量关系，并求出点E的坐标；

（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得 $\angle \mathit{EPF}＝90°$的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得 $△\mathit{HPQ}$是以 $\angle \mathit{PQH}$为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，经过 $A(-2,0)$， $B$， $C$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\frac{8}{3}(a<0)$与 $x$轴的另一个交点为 $D$，其顶点为 $M$，对称轴与 $x$轴交于点 $E$．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知 $R$是抛物线上的点，使得 $\mathit{\Delta ADR}$的面积是 $▱\mathit{OABC}$的面积的 $\frac{3}{4}$，求点 $R$的坐标；

（3）已知 $P$是抛物线对称轴上的点，满足在直线 $\mathit{MD}$上存在唯一的点 $Q$，使得 $\angle \mathit{PQE}=45°$，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$． $M$为线段 $\mathit{OB}$上的一个动点，过点 $M$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，交抛物线于点 $P$，交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．设 $M$点的坐标为 $M(m,0)$，请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 $M$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，且 $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，抛物线对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$， $D$为第一象限内抛物线上一动点，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$于点 $E$，与 $\mathit{AC}$交于点 $F$，设点 $D$的横坐标为 $m$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段 $\mathit{DF}$的长度最大时，求 $D$点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $D$，使得以点 $O$， $D$， $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$相似？若存在，求出 $m$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+8(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-2,0)$和点 $B(8,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{BC}$与抛物线的对称轴 $l$交于点 $E$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$是第一象限内抛物线上的动点，连接 $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$，当 $S_{\mathit{\Delta PBC}}=\frac{3}{5}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$时，求点 $P$的坐标；

（3）点 $N$是对称轴 $l$右侧抛物线上的动点，在射线 $\mathit{ED}$上是否存在点 $M$，使得以点 $M$， $N$， $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta OBC}$相似？若存在，求点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．