初中数学二次函数的性质试题

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $A(0,2)$、 $B(-1,0)$，将 $\mathit{\Delta ABO}$经过旋转、平移变化后得到如图1所示的 $\mathit{\Delta BCD}$．

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AC}$，点 $P$是位于线段 $\mathit{BC}$上方的抛物线上一动点，若直线 $\mathit{PC}$将 $\mathit{\Delta ABC}$的面积分成 $1:3$两部分，求此时点 $P$的坐标；

（3）现将 $\mathit{\Delta ABO}$、 $\mathit{\Delta BCD}$分别向下、向左以 $1:2$的速度同时平移，求出在此运动过程中 $\mathit{\Delta ABO}$与 $\mathit{\Delta BCD}$重叠部分面积的最大值．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(5,0)$， $B(-1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,\frac{5}{2})$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ACP}$是以点 $A$为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 $G$为抛物线上的一动点，过点 $G$作 $\mathit{GE}$垂直于 $y$轴于点 $E$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $D$，过点 $D$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $F$，连接 $\mathit{EF}$，当线段 $\mathit{EF}$的长度最短时，求出点 $G$的坐标．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x-3$交于 $A$、 $B$两点，其中点 $A$在 $y$轴上，点 $B$坐标为 $(-4,-5)$，点 $P$为 $y$轴左侧的抛物线上一动点，过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp x$轴于点 $C$，交 $\mathit{AB}$于点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以 $O$， $A$， $P$， $D$为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

（3）当点 $P$运动到直线 $\mathit{AB}$下方某一处时，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $M$，连接 $\mathit{PA}$使 $\mathit{\Delta PAM}$为等腰直角三角形，请直接写出此时点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-(2a+1)x+b$的图象经过 $(2,-1)$和 $(-2,7)$且与直线 $y=\mathit{kx}-2k-3$相交于点 $P(m,2m-7)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线 $y=\mathit{kx}-2k-3$与抛物线 $y=a{x}^2-(2a+1)x+b$的对称轴的交点 $Q$的坐标；

（3）在 $y$轴上是否存在点 $T$，使 $\mathit{\Delta PQT}$的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点 $T$的坐标；若不存在请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+2x+6(a\ne 0)$交 $x$轴与 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$左侧），将直尺 $\mathit{WXYZ}$与 $x$轴负方向成 $45°$放置，边 $\mathit{WZ}$经过抛物线上的点 $C(4,m)$，与抛物线的另一交点为点 $D$，直尺被 $x$轴截得的线段 $\mathit{EF}=2$，且 $\mathit{\Delta CEF}$的面积为6．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ACP}$的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿 $x$轴向左平移，设平移的时间为 $t$秒，平移后的直尺为 $W\text{'}X\text{'}Y\text{'}Z\text{'}$，其中边 $X\text{'}Y\text{'}$所在的直线与 $x$轴交于点 $M$，与抛物线的其中一个交点为点 $N$，请直接写出当 $t$为何值时，可使得以 $C$、 $D$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{(x+1)}^2-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C(0,-\frac{8}{3})$，顶点为 $D$，对称轴与 $x$轴交于点 $H$，过点 $H$的直线 $l$交抛物线于 $P$， $Q$两点，点 $Q$在 $y$轴的右侧．

（1）求 $a$的值及点 $A$， $B$的坐标；

（2）当直线 $l$将四边形 $\mathit{ABCD}$分为面积比为 $3:7$的两部分时，求直线 $l$的函数表达式；

（3）当点 $P$位于第二象限时，设 $\mathit{PQ}$的中点为 $M$，点 $N$在抛物线上，则以 $\mathit{DP}$为对角线的四边形 $\mathit{DMPN}$能否为菱形？若能，求出点 $N$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=m{x}^2+4\mathit{mx}-5m(m<0)$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），该抛物线的对称轴与直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$相交于点 $E$，与 $x$轴相交于点 $D$，点 $P$在直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$上（不与原点重合），连接 $\mathit{PD}$，过点 $P$作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PD}$交 $y$轴于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为 $6\sqrt{3}$，求抛物线的解析式；

（2）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点 $P$的位置发现：当点 $P$与点 $E$重合时， $\angle \mathit{PDF}$的大小为定值，进而猜想：对于直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$上任意一点 $P$（不与原点重合）， $\angle \mathit{PDF}$的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

如图，顶点为 $M$的抛物线 $y=a{(x+1)}^2-4$分别与 $x$轴相交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的右侧），与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）判断 $\mathit{\Delta BCM}$是否为直角三角形，并说明理由．

（3）抛物线上是否存在点 $N$（点 $N$与点 $M$不重合），使得以点 $A$， $B$， $C$， $N$为顶点的四边形的面积与四边形 $\mathit{ABMC}$的面积相等？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y＝x^2\mathit{﹣（}2k+1）x+k^2+k（k＞0）$

（1）当 $k＝\frac{1}{2}$时，求这个二次函数的顶点坐标；

（2）求证：关于x的一元二次方程

有两个不相等的实数根；

（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且 $\mathit{OP}＝1$，直线AP交BC于点Q，求证： $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{A{Q}^2}$．

已知抛物线 $y＝a（x-1{）}^2-3（a\ne 0）$的图象与y轴交于点 $A（0\mathit{，﹣}2）$，顶点为B．

（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；

（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；

（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；

（4）若将抛物线平移 $m（m\ne 0）$个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

如图①，直线 $y＝\frac{4}{3}x+4$交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F₁交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F₁所表示的二次函数的表达式；

（2）若点M是抛物线F₁位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S_{四边形MAOC}和S_△BOC，记 $S＝S_{\mathit{四边形}\mathit{MAOC}}﹣S_{△\mathit{BOC}}$，求S最大时点M的坐标及S的最大值；

（3）如图②，将抛物线F₁沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F₂，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y＝a{x}^2﹣4a（a＞0）$与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P是抛物线上一点，且 $\mathit{PB}＝\mathit{AB}，$ $\angle \mathit{PBA}＝120°$，如图所示．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设点M（m，n）为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动．

①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，是否存在点M使△APM的面积为 $\frac{5\sqrt{3}}{2}$？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．

如图，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c$（a、b、c为常数， $a\ne 0$）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

如图，已知抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若把抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$向下平移 $\frac{\text{13}}{\text{3}}$个单位长度，再向右平移 $n（n＞0）$个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；

（3）设点P在y轴上，且满足 $\angle \mathit{OPA}+\angle \mathit{OCA}＝\angle \mathit{CBA}$，求CP的长．

如图，抛物线y＝ax²+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于 $(0,\frac{9}{4})$，点A坐标为 $\mathit{（﹣}1,2）$，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．

（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．