如图1,图形 是由两个二次函数 与 的部分图象围成的封闭图形.已知 、 、 .
(1)直接写出这两个二次函数的表达式;
(2)判断图形 是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形 上),并说明理由;
(3)如图2,连接 , , ,在坐标平面内,求使得 与 相似(其中点 与点 是对应顶点)的点 的坐标.
如图,抛物线 交 轴正半轴于点 ,直线 经过抛物线的顶点 .已知该抛物线的对称轴为直线 ,交 轴于点 .
(1)求 , 的值.
(2) 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接 , .设点 的横坐标为 , 的面积为 ,记 .求 关于 的函数表达式及 的范围.
如图,抛物线 过点 ,矩形 的边 在线段 上(点 在点 的左边),点 , 在抛物线上.设 ,当 时, .
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当 为何值时,矩形 的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持 时的矩形 不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 , ,且直线 平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
已知,点 为二次函数 图象的顶点,直线 分别交 轴正半轴, 轴于点 , .
(1)判断顶点 是否在直线 上,并说明理由.
(2)如图1,若二次函数图象也经过点 , ,且 ,根据图象,写出 的取值范围.
(3)如图2,点 坐标为 ,点 在 内,若点 , , , 都在二次函数图象上,试比较 与 的大小.
设二次函数 , 是常数, .
(1)判断该二次函数图象与 轴的交点的个数,说明理由.
(2)若该二次函数图象经过 , , 三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.
(3)若 ,点 , 在该二次函数图象上,求证: .
四位同学在研究函数 , 是常数)时,甲发现当 时,函数有最小值;乙发现 是方程 的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当 时, ,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是
A.甲B.乙C.丙D.丁
如图,过抛物线 上一点 作 轴的平行线,交抛物线于另一点 ,交 轴于点 ,已知点 的横坐标为 .
(1)求抛物线的对称轴和点 的坐标;
(2)在 上任取一点 ,连接 ,作点 关于直线 的对称点 ;
①连接 ,求 的最小值;
②当点 落在抛物线的对称轴上,且在 轴上方时,求直线 的函数表达式.
定义:如图1,抛物线 与 轴交于 , 两点,点 在该抛物线上 点与 、 两点不重合),如果 的三边满足 ,则称点 为抛物线 的勾股点.
(1)直接写出抛物线 的勾股点的坐标.
(2)如图2,已知抛物线 与 轴交于 , 两点,点 是抛物线 的勾股点,求抛物线 的函数表达式.
(3)在(2)的条件下,点 在抛物线 上,求满足条件 的 点(异于点 的坐标.
如图,抛物线 与 轴的负半轴交于点 ,与 轴交于点 ,连接 ,点 在抛物线上,直线 与 轴交于点 .
(1)求 的值及直线 的函数表达式;
(2)点 在 轴正半轴上,点 在 轴正半轴上,连接 与直线 交于点 ,连接 并延长交 于点 ,若 为 的中点.
①求证: ;
②设点 的横坐标为 ,求 的长(用含 的代数式表示).
对于二次函数 的图象与性质,下列说法正确的是
A.对称轴是直线 ,最小值是2
B.对称轴是直线 ,最大值是2
C.对称轴是直线 ,最小值是2
D.对称轴是直线 ,最大值是2
在平面直角坐标系中,设二次函数 ,其中 .
(1)若函数 的图象经过点 ,求函数 的表达式;
(2)若一次函数 的图象与 的图象经过 轴上同一点,探究实数 , 满足的关系式;
(3)已知点 , 和 在函数 的图象上,若 ,求 的取值范围.
如图,抛物线 交 轴于点 , 轴,交抛物线于点 ,点 在抛物线上,且在第一象限内, 轴,交 轴于点 ,交 的延长线于点 , .
(1)用含 的代数式表示 的长.
(2)当 时,判断点 是否落在抛物线上,并说明理由.
(3)若 轴,交 于点 ,交 于点 .
①若 与 的面积相等,求 的值.
②连接 ,交 于点 ,若 与 的面积相等,则 的值是 .