初中数学平面直角坐标系试题

如图1，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 的底边 $\mathit{BC}$ 在 $x$ 轴上， $\mathit{BC}=8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $\mathit{OA}=2$ ，一动点 $E$ 从 $(3,0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达 $\mathit{OB}$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $\mathit{EF}$ 为边作正方形 $\mathit{EFGH}$ ，使正方形 $\mathit{EFGH}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 在 $\mathit{BC}$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t⩾0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $\mathit{AC}$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $\mathit{EFGH}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S=\frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $\mathit{AC}$ 的中点 $D$ ，连结 $\mathit{OD}$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2\sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $\mathit{OD}-\mathit{DC}-\mathit{CD}-\mathit{DO}$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

如图所示，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为，，，．

（1）填空：正方形的面积为　　；当双曲线与正方形有四个交点时，的取值范围是：　　；

（2）已知抛物线顶点在边上，与边，分别相交于点，，过点的双曲线与边交于点．

①点是平面内一动点，在抛物线的运动过程中，点随运动，分别求运动过程中点在最高位置和最低位置时的坐标；

②当点在点下方，，点不与，两点重合时，求的值；

③求证：抛物线与直线的交点始终位于轴下方．

如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当时，求点的坐标；

（2）设的中点为，连接、，当四边形的面积为时，求的长；

（3）当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时的值．

特例感知

（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是　　；

①抛物线，，都经过点；

②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；

③抛物线，，与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．

形成概念

（2）把满足为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．

知识应用

在（2）中，如图2．

①“系列平移抛物线”的顶点依次为，，，，，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，，，，，其横坐标分别为，，，，为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．

③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，，，，，连接，，判断，是否平行？并说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $P$ ， $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"，如图为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"示意图．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，

①若点 $B$ 的坐标为 $(3,1)$ ，求点 $A$ ， $B$ 的"相关矩形"的面积；

②点 $C$ 在直线 $x=3$ 上，若点 $A$ ， $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的表达式；

（2） $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 的坐标为 $(m,3)$ ，若在 $\odot O$ 上存在一点 $N$ ，使得点 $M$ ， $N$ 的"相关矩形"为正方形，求 $m$ 的取值范围．

在平面直角坐标系中，的半径为1，，为外两点，．

给出如下定义：平移线段，得到的弦，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．

（1）如图，平移线段得到的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是　　；在点，，，中，连接点与点　　的线段的长度等于线段到的“平移距离”；

（2）若点，都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；

（3）若点的坐标为，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中， $\odot M$ 经过原点 $O$ ，分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A(2,0)$ ， $B(0,8)$ ，连结 $\mathit{AB}$ ．直线 $\mathit{CM}$ 分别交 $\odot M$ 于点 $D$ ， $E$ （点 $D$ 在左侧），交 $x$ 轴于点 $C(17,0)$ ，连结 $\mathit{AE}$ ．

（1）求 $\odot M$ 的半径和直线 $\mathit{CM}$ 的函数表达式；

（2）求点 $D$ ， $E$ 的坐标；

（3）点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上，连结 $\mathit{PE}$ ．当 $\angle \mathit{AEP}$ 与 $\mathit{\Delta OBD}$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $\mathit{OP}$ 的长．

在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(-\sqrt{73}$ ， $0)$ ，点 $B$ 在直线 $l:y=\frac{3}{8}x$ 上，过点 $B$ 作 $\mathit{AB}$ 的垂线，过原点 $O$ 作直线 $l$ 的垂线，两垂线相交于点 $C$ ．

（1）如图，点 $B$ ， $C$ 分别在第三、二象限内， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{AO}$ 相交于点 $D$ ．

①若 $\mathit{BA}=\mathit{BO}$ ，求证： $\mathit{CD}=\mathit{CO}$ ．

②若 $\angle \mathit{CBO}=45°$ ，求四边形 $\mathit{ABOC}$ 的面积．

（2）是否存在点 $B$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BCO}$ 相似？若存在，求 $\mathit{OB}$ 的长；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，且线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-4x-5=0$的根，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp x$轴，垂足为 $E$， $\tan \angle \mathit{BAE}=\frac{4}{3}$，动点 $M$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，到达点 $B$停止．过点 $M$作 $x$轴的垂线，垂足为 $D$，以 $\mathit{MD}$为边作正方形 $\mathit{MDCF}$，点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上，设正方形 $\mathit{MDCF}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，点 $M$的运动时间为 $t(t>0)$秒．

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当点 $F$落在线段 $\mathit{OB}$上时，坐标平面内是否存在一点 $P$，使以 $M$、 $A$、 $O$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的半径为1．对于点 $A$和线段 $\mathit{BC}$，给出如下定义：若将线段 $\mathit{BC}$绕点 $A$旋转可以得到 $\odot O$的弦 $B\text{'}C\text{'}(B\text{'}$， $C\text{'}$分别是 $B$， $C$的对应点），则称线段 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的以点 $A$为中心的“关联线段”．

（1）如图，点 $A$， $B_1$， $C_1$， $B_2$， $C_2$， $B_3$， $C_3$的横、纵坐标都是整数．在线段 $B_1{C}_1$， $B_2{C}_2$， $B_3{C}_3$中， $\odot O$的以点 $A$为中心的“关联线段”是 　 $B_2{C}_2$　；

（2） $\mathit{\Delta ABC}$是边长为1的等边三角形，点 $A(0,t)$，其中 $t\ne 0$．若 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的以点 $A$为中心的“关联线段”，求 $t$的值；

（3）在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=1$， $\mathit{AC}=2$．若 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的以点 $A$为中心的“关联线段”，直接写出 $\mathit{OA}$的最小值和最大值，以及相应的 $\mathit{BC}$长．