初中数学平面直角坐标系试题

如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 $A$， $B$两点， $P$是线段 $\mathit{AB}$上任意一点（不包括端点），过 $P$分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是 $($　　 $)$

A． $y=x+5$B． $y=x+10$C． $y=-x+5$D． $y=-x+10$

如图， $B(3,-3)$， $C(5,0)$，以 $\mathit{OC}$， $\mathit{CB}$为边作平行四边形 $\mathit{OABC}$，则经过点 $A$的反比例函数的解析式为　　．

在平面直角坐标系中，点 P（ x， y）经过某种变换后得到点 P'（﹣ y+1， x+2），我们把点 P'（﹣ y+1， x+2）叫做点 P（ x， y）的终结点．已知点 P ₁的终结点为 P ₂，点 P ₂的终结点为 P ₃，点 P ₃的终结点为 P ₄，这样依次得到 P ₁、 P ₂、 P ₃、 P ₄、… P _n、…，若点 P ₁的坐标为（2，0），则点 P ₂₀₁₇的坐标为 　　．

如图1，在直角坐标系 $\mathit{xoy}$中，直线 $l:y=\mathit{kx}+b$交 $x$轴， $y$轴于点 $E$， $F$，点 $B$的坐标是 $(2,2)$，过点 $B$分别作 $x$轴、 $y$轴的垂线，垂足为 $A$、 $C$，点 $D$是线段 $\mathit{CO}$上的动点，以 $\mathit{BD}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta BCD}$成轴对称的△ $\mathit{BC}\text{'}D$．

（1）当 $\angle \mathit{CBD}=15°$时，求点 $C\text{'}$的坐标．

（2）当图1中的直线 $l$经过点 $A$，且 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时（如图 $2)$，求点 $D$由 $C$到 $O$的运动过程中，线段 $\mathit{BC}\text{'}$扫过的图形与 $\mathit{\Delta OAF}$重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线 $l$经过点 $D$， $C\text{'}$时（如图 $3)$，以 $\mathit{DE}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta DOE}$成轴对称的△ $\mathit{DO}\text{'}E$，连接 $O\text{'}C$， $O\text{'}O$，问是否存在点 $D$，使得△ $\mathit{DO}\text{'}E$与△ $\mathit{CO}\text{'}O$相似？若存在，求出 $k$、 $b$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $O$为坐标原点，点 $A$的坐标为 $(5,0)$，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $B$， $C$都在第一象限， $\tan \angle \mathit{AOC}=\frac{4}{3}$，将菱形绕点 $A$按顺时针方向旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{AOC})$得到菱形 $\mathit{FADE}$（点 $O$的对应点为点 $F)$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{OC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{AG}$．

（1）求点 $B$的坐标．

（2）当 $\mathit{OG}=4$时，求 $\mathit{AG}$的长．

（3）求证： $\mathit{GA}$平分 $\angle \mathit{OGE}$．

（4）连接 $\mathit{BD}$并延长交 $x$轴于点 $P$，当点 $P$的坐标为 $(12,0)$时，求点 $G$的坐标．

定义：点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部或边上的点（顶点除外），在 $\mathit{\Delta PAB}$， $\mathit{\Delta PBC}$， $\mathit{\Delta PCA}$中，若至少有一个三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，则称点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

例如：如图1，点 $P$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部， $\angle \mathit{PBC}=\angle A$， $\angle \mathit{BCP}=\angle \mathit{ABC}$，则 $\mathit{\Delta BCP}\backsim \mathit{\Delta ABC}$，故点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点 $M$是曲线 $y=\frac{3\sqrt{3}}{x}(x>0)$上的任意一点，点 $N$是 $x$轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点 $P$是 $\mathit{OM}$上一点， $\angle \mathit{ONP}=\angle M$，试说明点 $P$是 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点；当点 $M$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $3)$，点 $N$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $0)$时，求点 $P$的坐标；

（2）如图3，当点 $M$的坐标是 $(3,\sqrt{3})$，点 $N$的坐标是 $(2,0)$时，求 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点的坐标；

（3）是否存在点 $M$和点 $N$，使 $\mathit{\Delta MON}$无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，点 $O$为原点，点 $A$的坐标为 $(-6,0)$．如图1，正方形 $\mathit{OBCD}$的顶点 $B$在 $x$轴的负半轴上，点 $C$在第二象限．现将正方形 $\mathit{OBCD}$绕点 $O$顺时针旋转角 $\alpha$得到正方形 $\mathit{OEFG}$．

（1）如图2，若 $\alpha =60°$， $\mathit{OE}=\mathit{OA}$，求直线 $\mathit{EF}$的函数表达式．

（2）若 $\alpha$为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，当 $\mathit{AE}$取得最小值时，求正方形 $\mathit{OEFG}$的面积．

（3）当正方形 $\mathit{OEFG}$的顶点 $F$落在 $y$轴上时，直线 $\mathit{AE}$与直线 $\mathit{FG}$相交于点 $P$， $\mathit{\Delta OEP}$的其中两边之比能否为 $\sqrt{2}:1$？若能，求点 $P$的坐标；若不能，试说明理由

如图，在直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$ 的顶点 $O$ 在坐标原点，顶点 $A$ ， $C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上， $B$ ， $D$ 两点坐标分别为 $B(-4,6)$ ， $D(0,4)$ ，线段 $\mathit{EF}$ 在边 $\mathit{OA}$ 上移动，保持 $\mathit{EF}=3$ ，当四边形 $\mathit{BDEF}$ 的周长最小时，点 $E$ 的坐标为 　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $O$为坐标原点，点 $B$的坐标为 $(4,3)$，点 $A$、 $C$在坐标轴上，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，直线 $l_1:y=2x+3$，直线 $l_2:y=2x-3$．

（1）分别求直线 $l_1$与 $x$轴，直线 $l_2$与 $\mathit{AB}$的交点坐标；

（2）已知点 $M$在第一象限，且是直线 $l_2$上的点，若 $\mathit{\Delta APM}$是等腰直角三角形，求点 $M$的坐标；

（3）我们把直线 $l_1$和直线 $l_2$上的点所组成的图形为图形 $F$．已知矩形 $\mathit{ANPQ}$的顶点 $N$在图形 $F$上， $Q$是坐标平面内的点，且 $N$点的横坐标为 $x$，请直接写出 $x$的取值范围（不用说明理由）．

如图1，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 的底边 $\mathit{BC}$ 在 $x$ 轴上， $\mathit{BC}=8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $\mathit{OA}=2$ ，一动点 $E$ 从 $(3,0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达 $\mathit{OB}$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $\mathit{EF}$ 为边作正方形 $\mathit{EFGH}$ ，使正方形 $\mathit{EFGH}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 在 $\mathit{BC}$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t⩾0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $\mathit{AC}$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $\mathit{EFGH}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S=\frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $\mathit{AC}$ 的中点 $D$ ，连结 $\mathit{OD}$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2\sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $\mathit{OD}-\mathit{DC}-\mathit{CD}-\mathit{DO}$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

如图所示，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，一次函数 $y=x$ 与反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp \mathit{OA}$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ ；作 $B{A}_1//\mathit{OA}$ ，交反比例函数图象于点 $A_1$ ；过点 $A_1$ 作 $A_1{B}_1\perp A_{1}B$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ；再作 $B_1{A}_2//B{A}_1$ ，交反比例函数图象于点 $A_2$ ，依次进行下去， $\dots$ ，则点 $A_{2021}$ 的横坐标为 　　．

在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为，，，．

（1）填空：正方形的面积为　　；当双曲线与正方形有四个交点时，的取值范围是：　　；

（2）已知抛物线顶点在边上，与边，分别相交于点，，过点的双曲线与边交于点．

①点是平面内一动点，在抛物线的运动过程中，点随运动，分别求运动过程中点在最高位置和最低位置时的坐标；

②当点在点下方，，点不与，两点重合时，求的值；

③求证：抛物线与直线的交点始终位于轴下方．

如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当时，求点的坐标；

（2）设的中点为，连接、，当四边形的面积为时，求的长；

（3）当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时的值．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{AB}\perp y$ 轴，垂足为 B，将△ ABO绕点 A逆时针旋转到△ AB ₁ O ₁的位置，使点 B的对应点 B ₁落在直线 $y=-\frac{3}{4}$ x上，再将△ AB ₁ O ₁绕点 B ₁逆时针旋转到△ A ₁ B ₁ O ₂的位置，使点 O ₁的对应点 O ₂也落在直线 $y=-\frac{3}{4}$ x上，以此进行下去…若点 B的坐标为（0，3），则点 B ₂₁的纵坐标为 　　．