初中数学规律型：数字的变化类试题

阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：

设①

则②

②①得

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）　　；

（2）　　；

（3）求的和，是正整数，请写出计算过程）．

我们规定：，，，，，（即当为大于1的奇数时，，当为大于1的偶数时，，按此规律，　　．

在一列数： $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots$， $a_n$中， $a_1=3$， $a_2=7$，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是 $($　　 $)$

A．1B．3C．7D．9

$a$ 是不为1的有理数，我们把 $\frac{1}{1-a}$ 称为 $a$ 的差倒数，如2的差倒数为 $\frac{1}{1-2}=-1$ ， $-1$ 的差倒数 $\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$ ，已知 $a_1=5$ ， $a_2$ 是 $a_1$ 的差倒数， $a_3$ 是 $a_2$ 的差倒数， $a_4$ 是 $a_3$ 的差倒数 $\dots$ ，依此类推， $a_{2019}$ 的值是 $($ 　　 $)$

A．

5

B．

$-\frac{1}{4}$

C．

$\frac{4}{3}$

D．

$\frac{4}{5}$

将正整数1至2018按一定规律排列如下表：

平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是 $($　　 $)$

A．2019B．2018C．2016D．2013

我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母所表示的数是　　．

按一定规律排成的一列数依次为： $\frac{1}{2}$， $\frac{\sqrt{2}}{3}$， $\frac{\sqrt{3}}{10}$， $\frac{2}{15}$， $\frac{\sqrt{5}}{26}$， $\frac{\sqrt{6}}{35}$， $\dots$按此规律排下去，这列数中的第10个数是　　．

观察等式： $2+2^2=2^3-2$ ； $2+2^2+2^3=2^4-2$ ； $2+2^2+2^3+2^4=2^5-2\dots$ 已知按一定规律排列的一组数： $2^{50}$ 、 $2^{51}$ 、 $2^{52}$ 、 $\dots$ 、 $2^{99}$ 、 $2^{100}$ ．若 $2^{50}=a$ ，用含 $a$ 的式子表示这组数的和是 $($ 　　 $)$

A．

$2a^2-2a$

B．

$2a^2-2a-2$

C．

$2a^2-a$

D．

$2a^2+a$

观察下列式子

第1个式子：

第2个式子：

第3个式子：

请写出第个式子：　　．

观察下列各个等式的规律：

第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：

（1）直接写出第四个等式；

（2）猜想第个等式（用的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．

按一定规律排列的单项式： $a$ ， $-a^2$ ， $a^3$ ， $-a^4$ ， $a^5$ ， $-a^6$ ， $\dots \dots$ ，第 $n$ 个单项式是 $($ 　　 $)$

A．

$a^n$

B．

$-a^n$

C．

${(-1)}^{n+1}{a}^n$

D．

${(-1)}^n{a}^n$

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{1}{3}\times (1+\frac{2}{1})=2-\frac{1}{1}$，

第2个等式： $\frac{3}{4}\times (1+\frac{2}{2})=2-\frac{1}{2}$，

第3个等式： $\frac{5}{5}\times (1+\frac{2}{3})=2-\frac{1}{3}$，

第4个等式： $\frac{7}{6}\times (1+\frac{2}{4})=2-\frac{1}{4}$．

第5个等式： $\frac{9}{7}\times (1+\frac{2}{5})=2-\frac{1}{5}$．

$\dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　 $\frac{11}{8}\times (1+\frac{2}{6})=2-\frac{1}{6}$　；

（2）写出你猜想的第 $n$个等式：　　（用含 $n$的等式表示），并证明．

生活中常用的十进制是用 $0~9$ 这十个数字来表示数，满十进一，例： $12=1\times 10+2$ ， $212=2\times 10\times 10+1\times 10+2$ ；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用 $0~F$ 来表示 $0~15$ ，满十六进一，它与十进制对应的数如表：

十进制	0	1	2	$\dots$	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	$\dots$
十六进制	0	1	2	$\dots$	8	9	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	10	11	$\dots$

例：十六进制 $2B$ 对应十进制的数为 $2\times 16+11=43$ ， $10C$ 对应十进制的数为 $1\times 16\times 16+0\times 16+12=268$ ，那么十六进制中 $14E$ 对应十进制的数为 $($ 　　 $)$

A．

28

B．

62

C．

238

D．

334

将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　　．

我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式 ${(a+b)}^n$的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”

根据”杨辉三角”请计算 ${(a+b)}^8$的展开式中从左起第四项的系数为 $($　　 $)$

A．84B．56C．35D．28