高中数学解答题

如图， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ 且AD=2BC， $\mathit{AD}\perp \mathit{CD}$ , $\mathit{EG}//\mathit{AD}$ 且EG=AD， $\mathit{CD}//\mathit{FG}$ 且CD=2FG， $\mathit{DG}\perp \mathit{平面}\mathit{ABCD}$ ，DA=DC=DG=2.

（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： $\mathit{MN}\parallel \mathit{平面}\mathit{CDE}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $E-\mathit{BC}-F$ 的正弦值；

（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

在 $△\mathit{ABC}$ 中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 $b\mathit{sin}A=a\mathit{cos}\left(B-\frac{\pi }{6}\right)$ .

（1）求角 B的大小；

（2）设 a=2， c=3，求 b和 $\mathit{sin}\left(2A-B\right)$ 的值.

已知 $f\left(x\right)=\left|x+1\right|-\left|\mathit{ax}-1\right|$ .

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)>1$ 的解集；

（2）若 $x\in \left(0,1\right)$ 时不等式 $f\left(x\right)>x$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C_1$的方程为 $y=k\left|x\right|+2$.以坐标原点为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 ${\rho }^2+2\rho \mathit{cos}\theta -3=0$.

（1）求 $C_2$的直角坐标方程；

（2）若 $C_1$与 $C_2$有且仅有三个公共点，求 $C_1$的方程.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}-x+a\mathit{ln}x$．

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$存在两个极值点 $x_1,x_2$，证明： $\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}<a-2$．

某工厂的某种产品成箱包装，每箱 $200$件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 $20$件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $p(0<p<1)$，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记 $20$件产品中恰有 $2$件不合格品的概率为 $f\left(p\right)$,求 $f\left(p\right)$的最大值点 $p_0$；

（2）现对一箱产品检验了 $20$件，结果恰有 $2$件不合格品，以（1）中确定的 $p_0$作为 $p$的值．已知每件产品的检验费用为 $2$元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 $25$元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$，求 $\mathit{EX}$;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

设椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$的右焦点为 $F$，过 $F$的直线 $l$与 $C$交于 $A,B$两点，点 $M$的坐标为 $(2,0)$.

（1）当 $l$与 $x$轴垂直时，求直线 $\mathit{AM}$的方程；

（2）设 $O$为坐标原点，证明： $\angle \mathit{OMA}=\angle \mathit{OMB}$.

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为正方形， $E,F$ 分别为 $\mathit{AD},\mathit{BC}$ 的中点，以 $\mathit{DF}$ 为折痕把 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $\mathit{PF}\perp \mathit{BF}$ .

（1）证明：平面 $\mathit{PEF}\perp$ 平面 $\mathit{ABFD}$ ；

（2）求 $\mathit{DP}$ 与平面 $\mathit{ABFD}$ 所成角的正弦值.

在平面四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ADC}=90^{\circ }$， $\angle A=45^{\circ }$， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BD}=5$.

（1）求 $\mathit{cos}\angle \mathit{ADB}$；

（2）若 $\mathit{DC}=2\sqrt{2}$，求 $\mathit{BC}$.

设函数 $f\left(x\right)=5-\left|x+a\right|-\left|x-2\right|$.

（1）当 $a=1$时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 0$的解集；

（2）若 $f\left(x\right)\le 1$恒成立，求 $a$的取值范围.

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2\mathit{cos\theta }\\ y=4\mathit{sin\theta }\end{array}\right.$（ $\theta$为参数），直线 $l$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=1+\mathit{tcos\alpha }\\ y=2+\mathit{tsin\alpha }\end{array}\right.$（ $t$为参数）.

（1）求 $C$和 $l$的直角坐标方程；

（2）若曲线 $C$截直线 $l$所得线段的中点坐标为 $\left(1,2\right)$，求 $l$的斜率．

已知函数 $f\left(x\right)=e^x-a{x}^2$．

（1）若 $a=1$，证明：当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)\ge 1$；

（2）若 $f\left(x\right)$在只有一个零点，求 $a$的值.

如图，在三棱锥 $P-\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2\sqrt{2}$ ， $\mathit{PA}=\mathit{PB}=\mathit{PC}=\mathit{AC}=4$ ， $O$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点．

（1）证明： $\mathit{PO}\perp$ 平面 $\mathit{ABC}$ ；

（2）若点 $M$ 在棱 $\mathit{BC}$ 上，且二面角 $M-\mathit{PA}-C$ 为 $30°$ ，求 $\mathit{PC}$ 与平面 $\mathit{PAM}$ 所成角的正弦值．

设抛物线 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{y}^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $\left|\mathit{AB}\right|\hspace{0.33em}=8$ ．

（1）求 $l$ 的方程；

（2）求过点 $A$ ， $B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程．