高中数学解答题

在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2+t,\\ y=\mathit{kt},\end{array}\right.$（t为参数），直线l₂的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=-2+m,\\ y=\frac{m}{k},\end{array}\right.（m\mathit{为参数）}$.设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 $l_3:\rho \left(\mathit{cos}\theta +\mathit{sin}\theta \right)-\sqrt{2}=0$，M为l₃与C的交点，求M的极径.

已知函数 $f\left(x\right)=x-1-a\mathit{ln}x$．

（1）若 $f\left(x\right)\ge 0$，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n， $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\cdots (1+\frac{1}{2^n})<m$，求m的最小值．

已知抛物线C：y²=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点 $P\left(4,-2\right)$，求直线l与圆M的方程.

如图，四面体 ABCD中， $△ABC$是正三角形， $△ACD$是直角三角形， $\angle ABD=\angle CBD，AB=BD$．

（1）证明： $\mathrm{平面}ACD\perp \mathrm{平面}ABC$；

（2）过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 $D-AE-C$的余弦值.

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

$\mathit{\Delta ABC}$ 的内角 的对边分别为 $a,b,c,$ 已知 $\mathit{sin}A+\sqrt{3}\mathit{cos}A=0,a=2\sqrt{7},b=2$ .

（1）求角 $A$ 和边长 $c$ ；

（2）设 $D$ 为 $\mathit{BC}$ 边上一点，且 ,求 $\mathit{\Delta ABD}$ 的面积.

设 n为正整数，集合 A= $\left\{\alpha \right|\alpha =\left(t_1,t_2,\cdots ,t_n\right),t_k\in \left\{0,1\right\},k=1,2,\cdots ,n\}$ ．对于集合 A中的任意元素 $\alpha =\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 和 $\beta =\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$ ，记

M（ $\alpha ，\beta$ ）= $\frac{1}{2}\left[\left(x_1+y_1-\left|x_1-y_1\right|\right)+\left(x_2+y_2-\left|x_2-y_2\right|\right)+\cdots +\left(x_n+y_n-\left|x_n-y_n\right|\right)\right]$ ．

（Ⅰ）当 n=3时，若 $\alpha =\left(1,1,0\right)$ ， $\beta =\left(0,1,1\right)$ ，求 M（ $\alpha ,\alpha$ ）和 M（ $\alpha ,\beta$ ）的值；

（Ⅱ）当 n=4时，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意元素 $\alpha ,\beta$ ，当 $\alpha ,\beta$ 相同时， M（ $\alpha ，\beta$ ）是奇数；当 $\alpha ,\beta$ 不同时， M（ $\alpha ，\beta$ ）是偶数．求集合 B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的 n，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意两个不同的元素 $\alpha ,\beta$ ， M（ $\alpha ，\beta$ ）=0．写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由．

已知抛物线C： $y^2$=2px经过点 $P$（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点， $\stackrel{⃑}{\mathit{QM}}=\lambda \stackrel{⃑}{\mathit{QO}}$， $\stackrel{⃑}{\mathit{QN}}=\mu \stackrel{⃑}{\mathit{QO}}$，求证： $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }$为定值．

设函数 $f\left(x\right)$=[ $a{x}^2-\left(4a+1\right)x+4a+3$] $e^x$．

（1）若曲线在点（1， $f\left(1\right)$）处的切线与 $x$轴平行，求 $a$；

（2）若 $f\left(x\right)$在 $x=2$处取得极小值，求 $a$的取值范围．

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	140	50	300	200	800	510
好评率	0.4	0.2	0.15	0.25	0.2	0.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用" ${\xi }_k=1$ "表示第 k类电影得到人们喜欢，" ${\xi }_k=0$ "表示第 k类电影没有得到人们喜欢（ k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 $D{\xi }_1$ ， $D{\xi }_2$ ， $D{\xi }_3$ ， $D{\xi }_4$ ， $D{\xi }_5$ ， $D{\xi }_6$ 的大小关系．

如图，在三棱柱 ABC− $A_1{B}_1{C}_1$ 中， $C{C}_1\perp$ 平面 ABC， D， E， F， G分别为 $A{A}_1$ ， AC， $A_1{C}_1$ ， 的中点， AB=BC= $\sqrt{5}$ ， AC= $A{A}_1$ =2．

（1）求证： AC⊥平面 BEF；

（2）求二面角 B−CD− C ₁的余弦值；

（3）证明：直线 FG与平面 BCD相交．

在△ABC中，a=7，b=8，cosB= - $\frac{1}{7}$ ．

(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

已知函数 $f\left(x\right)=a^x$ ， $g\left(x\right)=\text{lo}{\text{g}}_{a}x$ ，其中 a>1.

（I）求函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)-x\text{ln}a$ 的单调区间；

（II）若曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ 处的切线与曲线 $y=g\left(x\right)$ 在点 $\left(x_2,g\left(x_2\right)\right)$ 处的切线平行，证明 $x_1+g\left(x_2\right)=-\frac{2\text{lnln}a}{\text{ln}a}$ ；

（III）证明当 $a\ge e^{\frac{1}{e}}$ 时，存在直线 l，使 l是曲线 $y=f\left(x\right)$ 的切线，也是曲线 $y=g\left(x\right)$ 的切线.

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点A的坐标为 $\left(b,0\right)$ ，且 $\left|\mathit{FB}\right|\cdot \left|\mathit{AB}\right|=6\sqrt{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l： $y=\mathit{kx}(k>0)$ 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 $\frac{\left|\mathit{AQ}\right|}{\left|\mathit{PQ}\right|}=\frac{5\sqrt{2}}{4}\text{sin}\angle \mathit{AOQ}$ (O为原点) ，求k的值.

设 $\left\{a_n\right\}$是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_n\left(n\in N^{*}\right)$， $\left\{b_n\right\}$是等差数列.已知 $a_1=1$， $a_3=a_2+2$， $a_4=b_3+b_5$， $a_5=b_4+2b_6$.

（I）求 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（II）设数列 $\left\{S_n\right\}$的前n项和为 $T_n\left(n\in N^{*}\right)$，

（i）求 $T_n$；

（ii）证明 $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\left(T_k+b_{k+2}\right)b_k}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2\left(n\in N^{*}\right)$.