李叔叔在院子的墙角修了一个长15米,宽3米的长方形兔舍,至少需要修围墙多少米?
已知数集 A = { a 1 , a 2 , ⋯ a n } ( 1 ≤ a 1 < a 2 < ⋯ a n , n ≥ 2 ) 具有性质 P ;对任意的 i , j ( 1 ≤ i ≤ j ≤ n ) , a i a j 与 a j a i 两数中至少有一个属于 A 。
(Ⅰ)分别判断数集 { 1 , 3 , 4 } 与 { 1 , 2 , 3 , 6 } 是否具有性质 P ,并说明理由;
(Ⅱ)证明: a 1 = 1 ,且 a 1 + a 2 + ⋯ + a n a 1 - 1 + a 2 - 1 + ⋯ + a n - 1 = a n ;
(Ⅲ)证明:当 n = 5 时, a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 成等比数列。
已知双曲线 C : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 ) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x = 3 3
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程;
(Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x 2 + y 2 = 2 上动点 P ( x 0 , y 0 ) ( x 0 y 0 ≠ 0 ) 处的切线, l 与双曲线 C 交于不同的两点 A , B ,证明 ∠ AOB 的大小为定值。
设函数 f ( x ) = x e kx ( k ≠ 0 )
(Ⅰ)求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线方程;
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;
(Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 ( - 1 , 1 ) 内单调递增,求 k 的取值范围。
某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是 1 3 ,遇到红灯时停留的时间都是2min。
(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布列及期望。
如图,在三棱锥 P - ABC 中, PA ⊥ 底面 ABC , PA = AB , ∠ ABC = 6 0 ° , ∠ BCA = 9 0 ° ,点 D , E 分别在棱 PB , PC 上,且 DE / / BC
(Ⅰ)求证: BC ⊥ 平面 PAC ;
(Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小;
(Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A - DE - P 为直二面角?并说明理由。