一个两位数乘以5,所得的积的结果是一个三位数,且这个三位数的个位与百位数字的和恰好等于十位上的数字.问一共有多少个这样的数?
如图,已知四棱锥 P - A B C D 的底面为等腰梯形, A B / / C D , A C ⊥ B D ,垂足为 H , P H 是四棱锥的高, E 为 A D 中点. (1)证明: P E ⊥ B C ;
(2)若 ∠ A P B = ∠ A D B = 60 ° ,求直线 P A 与平面 P E H 所成角的正弦值.
设数列 { a n } 满足 a 1 = 2 , a n + 1 - a n = 3 × 2 2 n - 1
(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)令 b n = n a n ,求数列的前 n 项和 S n .
已知函数 f ( x ) = 1 3 x 2 + a x + b 的图像在点 P ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线方程为 y = 3 x - 2 . (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)设 y 2 = 4 x ( - 2 ) 2 = 2 p x , x = - 1 , g ( x ) = f ( x ) + m x - 1 是 [ 2 , + ∞ ) 上的增函数. (ⅰ)求实数 m 的最大值; (ⅱ)当 m 取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线能与曲线 y = g ( x ) 围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口的 O 北偏西30°且与该港口相距20海里的 A 处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (I)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (II)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (III)是否存在 v ,使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.
如图,在长方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E , H 分别是棱 A 1 B 1 , D 1 C 1 上的点(点 E 与 B 1 不重合),且 E H / / A 1 D 1 . 过 E H 的平面与棱 B B 1 , C C 1 相交,交点分别为 F , G .
(I)证明: A D / / 平面 E F G H ;
(II)设 A B = 2 A A 1 = 2 a .在长方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 内随机选取一点.记该点取自几何体 A 1 A B F E - D 1 D C G H 内的概率为 p ,当点 E , F 分别在棱 A 1 B 1 上运动且满足 E F = a 时,求 p 的最小值.