雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为，初速度为
，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为
。此后每经过同
样的距离后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为
、
……
……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度；
（2）若考虑重力的影响，
a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度和
；
b.求第n次碰撞后雨滴的动能
；
利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域。
如图1，将一金属或半导体薄片垂直置于磁场中，在薄片的两个侧面
间通以电流I时，另外两侧
间产生电势差，这一现象称为霍尔效应。其原因是薄片中的移动电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是
间建立起电场
，同时产生霍尔电势差
。当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等时，
和
达到稳定值，
的大小与
和
以及霍尔元件厚度
之间满足关系式
＝
，其中比例系数称为霍尔系数，仅与材料性质有关。
（1）设半导体薄片的宽度（间距）为
，请写出
和
的关系式;若半导体材料是电子导电的，请判断图1中
哪端的电势高;[
（2）已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数为，电子的电荷量为
，请导出霍尔系数
的表达式。（通过横截面积
的电流
，其中
是导电电子定向移动的平均速率）;
（3）图2是霍尔测速仪的示意图，将非磁性圆盘固定在转轴上，圆盘的周边等距离地嵌装着个永磁体，相邻永磁体的极性相反。霍尔元件置于被测圆盘的边缘附近。当圆盘匀速转动时，霍尔元件输出的电压脉冲信号图像如图3所示。
a.若在时间内，霍尔元件输出的脉冲数目为
，请导出圆盘转速N的表达式。
b.利用霍尔测速仪可以测量汽车行驶的里程。除此之外，请你展开"智慧的翅膀"，提出另一个实例或设想。
如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑
行后从点水平飞出，经过3.0
落到斜坡上的A点。已知
点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角
＝37°，运动员的质量
＝50
。不计空气阻力。（取
37°＝0.60，
37°＝0.80;
取10
）求
（1）点与
点的距离
;
（2）运动员离开点时的速度大小;
（3）运动员落到点时的动能。
小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离
后落地，如题24图所示，已知握绳的手离地面高度为
，手与球之间的绳长为
，重力加速度为
，忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求绳断时球的速度大小，和球落地时的速度大小
（2）问绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
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