如图所示，相距为$L$的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为$\theta$，上端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为$B$。将质量为$m$的导体棒由静止释放，当速度达到$v$时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率为$P$，导体棒最终以$2v$的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为$g$，下列选项正确的是

$P=2mgv\sin \theta$

$P=3mgv\sin \theta$

当导体棒速度达到$\frac{v}{2}$时加速度为$\frac{g}{2}\sin \theta$

在速度达到$2v$以后匀速运动的过程中，$R$上产生的焦耳热等于拉力所做的功