某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为$S$。比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为$a$的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到$v_0$时，再以$v_0$做匀速直线运动跑至终点。整个过程中球一直保持在球拍中心不动。比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为${\theta }_0$，如题25图所示。设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为$m$，重力加速度为$g$。

（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数$k$；
（2）求在加速跑阶段球拍倾角$\theta$随速度$v$变化的关系式；
（3）整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为$v_0$，而球拍的倾角比${\theta }_0$大了$\beta$并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求$\beta$应满足的条件。