如图所示，在以坐标原点$O$为圆心、半径为$R$的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为$B$，磁场方向垂直于$xOy$平面向里。一带正电的粒子（不计重力）从$O$沿$y$轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经$t_0$时间从$P$点射出。

（1）求电场强度的大小和方向。
（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从$O$点以相同的速度射入，经$\frac{t_0}{2}$时间恰从半圆形区域的边界射出。求粒子运动加速度的大小。
（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从$O$点射入，且速度为原来的$4$倍，求粒子在磁场中运动的时间。