如题图所示，空气中有一折射率为$\sqrt{2}$的玻璃柱体，其横截而是圆心角为$90°$,半径为R的扇形$OAB$、一束平行光平行于横截面，以$45°$入射角射到$OA$上，$OB$不透光，若考虑首次入射到圆弧$AB$上的光，则$AB$上有光透出的部分的弧长为（）

A．

$\frac{1}{6}\pi R$

B．

$\frac{1}{4}\pi R$

C．

$\frac{1}{3}\pi R$

D．

$\frac{5}{12}\pi R$